Bài 107344

Question

Cho $\log_{12}18 = \alpha, \log_{24}54 = \beta$. Chứng minh rằng:
$\alpha\beta + 5 (\alpha - \beta) = 1$

Thu Hằng · Answer 1 · 6/8/2012 10:54:39 AM

Ta có $\alpha = \log_{12}18 = \frac{\log_218}{\log_212} = \frac{1 + 2\log_23}{2 + \log_23}$, suy ra
$2\alpha + \alpha\log_23 = 1 + 2\log_23 \Leftrightarrow   2\alpha - 1 = (2 - \alpha) \log_23$     $(1)$
Vì $\log_{12}18 < \log_{12}144 = 2 \Rightarrow \alpha < 2 \Rightarrow 2 - \alpha \neq 0$, nên từ $(1)$ ta có:
$\log_23 = \frac{2\alpha - 1}{2 - \alpha}$    $(2)$
Lại có: $\beta = \log_{24}54 = \frac{\log_254}{\log_224} = \frac{1 + 3\log_23}{3 + \log_23}$, suy ra:
$3\beta + \beta\log_23 = 1 + 3\log_23 \Leftrightarrow 3\beta - 1 = (3 - \beta)\log_23$           $(3)$
Rõ ràng $\log_{24}54 < \log_{24}24^3 = 3 \Rightarrow 3 - \beta \neq 0$. Từ $(3)$ đi đến:
$\log_23 = \frac{3\beta - 1}{3 - \beta}$              $(4)$
Từ $(2), (4)$ ta có:
$\frac{2\alpha - 1}{2 - \alpha} = \frac{3\beta - 1}{3 - \beta} \Leftrightarrow   6\alpha - 3 - 2\alpha\beta + \beta = 6\beta - 2 - 3\alpha\beta + \alpha$
$\Leftrightarrow 5\alpha - 5\beta + \alpha\beta = 1 \Leftrightarrow \alpha\beta + 5 (\alpha - \beta) = 1$     (đpcm)

Bài 107344

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107344

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan