Bài 107320

Question

Cho tứ diện $OABC$ có các cạnh $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc với nhau. $H$ là hình chiếu của $O$ trên $(ABC)$
a) Chứng minh $\Delta ABC$ có ba góc nhọn
b) Chứng minh $H$ là trực tâm $\Delta ABC$
c) Chứng minh $\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}+\frac{1}{OC^2} $
d) Gọi $\alpha =[O,AB,C], \beta =[O,BC,A], \gamma=[O,AC,B]$.
Chứng minh $cos^2\alpha +cos^2 \beta +cos ^2\gamma=1$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/8/2012 9:59:45 AM

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho: $O(0;0;0), A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)(a,b,c>0)$

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=(-a;b;0)(-a;0;c)=a^2>0 \Rightarrow \widehat{BAC} $ nhọn.
Tương tự: $\widehat{ABC},\widehat{ACB}$ nhọn
Vậy $\Delta ABC$ có ba góc nhọn

b) Ta có phương trình $mp(ABC): \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 \Leftrightarrow bcx+acy+abz-abc=0$
$OH\bot (ABC)\Leftrightarrow \overrightarrow{u}_{OH}=\overrightarrow{n}_{(ABC)} =(bc;ac;ab)$
Phương trình tham số $OH:\left\{ \begin{array}{l} x=bct\\ y=act\\z=abt \end{array} \right. (t\in R)$
Thay $x,y,z$ vào phương trình $(ABC):(b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2)t=abc$
$t=\frac{abc}{a^2b^2+b^2c^2+C62a^2} $
$\begin{array}{l}
\Rightarrow H\left( {\frac{{a{b^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}};\frac{{{a^2}b{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}};\frac{{{a^2}{b^2}c}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}} \right)\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AH} = \frac{{{a^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}( - a{b^2} - a{c^2};b{c^2};{b^2}c)\\
\overrightarrow {BH} = \frac{{{b^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}(a{c^2}; - {a^2}b - b{c^2};{a^2}c)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{a^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}( - a{b^2} - a{c^2};b{c^2};{b^2}c)(0; - b;c) = 0\\
\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = \frac{{{b^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}(a{c^2}; - {a^2}b - b{c^2};{a^2}c)( - a;0;c) = 0
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AH \bot BC\\
BH \bot AC
\end{array} \right.
\end{array}$
$\Rightarrow H$ là trực tâm của $\Delta ABC$

c) Ta có:
$\begin{array}{l}
OH = d(O,(ABC)) = \frac{{| - abc|}}{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }} \Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}{{{a^2}{b^2}{c^2}}}\\
\frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = \frac{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}{{{a^2}{b^2}{c^2}}}\\
\Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}
\end{array}$

d) Nhận xét: $|cos\alpha |=|cos[\widehat{(OAB),(ABC)}]|=|cos(\overrightarrow{n}_{(OAB)},\overrightarrow{n}_{(ABC)} )|$
Gọi $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{n}_{(ABC)}=(bc;ac;ab) $
$\overrightarrow{n}_1 =\overrightarrow{n}_{(OAB)}=\overrightarrow{k} =(0;0;1) $
$\overrightarrow{n}_2=\overrightarrow{n}_{(OBC)}=\overrightarrow{i}=(1;0;0) $
$\overrightarrow{n}_3 =\overrightarrow{n}_{(OAC)}=\overrightarrow{j}=(0;1;0) $
$\begin{array}{l}
\Rightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\beta + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\gamma = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow n ) + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}(\overrightarrow {{n_2}} ,\overrightarrow n ) + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}(\overrightarrow {{n_3}} ,\overrightarrow n )\\
= \frac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}} + \frac{{{b^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}} + \frac{{{c^2}{a^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}\\
\Rightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\beta + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\gamma = 1
\end{array}$

Bài 107320

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107320

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan