Bài 107278

Question

Cho ba tia $Ox,Oy,Oz$ đôi một vuông góc với nhau. Xét tam diện $Oxyz$. Điểm $M$ cố định nằm bên trong tam diện, một mặt phẳng $(\alpha)$ qua $M$ cắt $Ox,Oy,Oz$ tại $A,B,C$. Gọi khoảng cách từ $M$ đến $(OBC),(OCA),(OAB)$ lần lượt là $a,b,c$
a) Chứng minh $\triangle ABC$ không phải là tam giác vuông.
b) Tính $OA,OB,OC$ theo $a,b,c$ để thể tích tứ diện $OABC$ nhỏ nhất.
c) Tính $OA,OB,OC$ theo $a,b,c$ để tổng $OA+OB+OC$ nhỏ nhất

score 0 · Answer 1

a) Giả sử $\triangle ABC$ vuông tại $A$, ta có:
     $\begin{cases} BA \bot AC\\ BA \bot OC \end{cases} \Rightarrow BA\bot (COA) \Rightarrow BA \bot OA$
Như vậy qua $B$ có hai đường trẳng phân biệt cùng vuông góc với $OA$ và cùng ở trong mp$(Oxy)$: vô lý
Vậy $\triangle ABC$ không thể vuông tại $A$. Cũng vậy $\triangle ABC$ không thể vuông tại $B$ và $C$.
b) Hạ $MI,MJ,MK$ vuông góc với ba mặt $(yOz),(zOx),(xOy)$
Theo giả thiết: $MI=a, MJ=b,MK=c$ (cho sẵn)
* Trước hết ta chứng minh hệ thức:
     $\frac{a}{OA}+\frac{b}{OB}+\frac{c}{OC}=1   (1)$
Nối $MA,MB,MC,MO$. Tứ diện $OABC$ bị chia thành ba tứ diện đỉnh $M$ ba mặt là $OBC,OCA,OAB$ mà chiều cao lần lượt là $a,b,c$
Do đó: $V_{OABC}=V_{M.BOC}+V_{M.COA}+V_{M.AOB}$
Hay là:
$\frac{1}{6}OA.OB.Oc=\frac{1}{6}OB.OC.a+\frac{1}{6}.OA.OB.c+\frac{1}{6}OC.OA.b$
Chia hai vế cho $\frac{1}{6}OA.OB.OC$ ta được : $1=\frac{a}{OA}+\frac{b}{OB}+\frac{c}{OC}$
* Áp dụng bất dẳng thức Cô-si cho ba số $\frac{a}{OA},\frac{b}{OB},\frac{c}{OC}$ và nhờ $(1)$ ta được: $1\geq 3\sqrt[3]{\frac{a}{OA}.\frac{b}{OB}.\frac{c}{OC}} \Leftrightarrow OA.OB.OC \geq 27 \Leftrightarrow V\geq \frac{9}{2}abc$
Suy ra $V_{\min}=\frac{9}{2}abc$ xảy ra khi và chỉ khi:
   $\frac{a}{OA}=\frac{b}{OB}=\frac{c}{OC}=\frac{1}{3} \Leftrightarrow \begin{cases}OA=3a \\ OB=3b \\ OC=3c \end{cases}$
c) Nhờ bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki và nhờ $(1)$ ta có:
    $(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2=(\sqrt{\frac{a}{OA}}.\sqrt{OA}+\sqrt{\frac{b}{OB}}.\sqrt{OB}+\sqrt{\frac{c}{OC}}.\sqrt{OC})^2$
        $\leq (\frac{a}{OA}+\frac{b}{OB}+\frac{c}{OC})(OA+OB+OC)=Oa+OB+OC$
Vậy $(OA+OB+OC)_{\min}=(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2$ ứng với khi đẳng thức xảy ra tức là khi:
   $\frac{\sqrt{\frac{a}{OA}}}{\sqrt{OA}}=\frac{\sqrt{\frac{b}{OB}}}{\sqrt{OB}}=\frac{\sqrt{\frac{c}{OC}}}{\sqrt{OC}} \Rightarrow \frac{\sqrt{a}}{OA}+\frac{\sqrt{b}}{Ob}+\frac{\sqrt{c}}{OC}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{OA+OB+OC}$
$\Rightarrow \begin{cases}\frac{\sqrt{a}}{OA}=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}} \\ \frac{\sqrt{b}}{OB}=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}} \\ \frac{\sqrt{a}}{Oc}=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}OA=\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \\ OB=\sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \\ OC=\sqrt{c}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \end{cases}$

Bài 107278

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107278

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan