Bài 107249

Question

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ cạnh đáy là $a$. Gọi $M, N$ là trung điểm của $SB, SC$. Tính theo $a$ diện tích $\Delta AMN$, biết $(AMN)\bot (SBC)$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/7/2012 5:24:04 PM

Gọi $O$ là hình chiếu của $S$ trên $(ABC)\Rightarrow O$ là trọng tâm $\Delta ABC$
Gọi $I$ là trung điểm của $BC$
Ta có: $AI=BC \frac{\sqrt{3} }{2} =\frac{a\sqrt{3} }{2} $
$\Rightarrow OA=\frac{a\sqrt{3} }{3}, OI=\frac{a\sqrt{3} }{6} $
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho: $O(0;0;0), A(\frac{a\sqrt{3} }{3};0;0 ), S(0;0;s)(a,s>0)$
$\Rightarrow I(-\frac{a\sqrt{3} }{2};0;0 ),B(-\frac{a\sqrt{3} }{6};\frac{a}{2};0 ), C(-\frac{a\sqrt{3} }{6};-\frac{a}{2};0 )$
$M(-\frac{a\sqrt{3} }{12};\frac{a}{4};\frac{s}{2}), N(-\frac{a\sqrt{3} }{12};-\frac{a}{4};\frac{s}{2} ) $

$\begin{array}{l}
{\overrightarrow n _{(AMN)}} = {\rm{[}}\overrightarrow {AM} {\rm{,}}\overrightarrow {AN} {\rm{] = }}\left[ {\left( {\frac{{ - 5a\sqrt 3 }}{{12}};\frac{a}{4};\frac{s}{2}} \right),\left( {\frac{{ - 5a\sqrt 3 }}{{12}};\frac{{ - a}}{4};\frac{s}{2}} \right)} \right] = \left( {\frac{{{\rm{as}}}}{4};0;\frac{{5{a^2}\sqrt 3 }}{{24}}} \right)\\
{\overrightarrow n _{(SBC)}} = {\rm{[}}\overrightarrow {SB} {\rm{,}}\overrightarrow {SC} {\rm{] = }}\left[ {\left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{6};\frac{a}{2}; - s} \right),\left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{6};\frac{{ - a}}{2}; - s} \right)} \right] = \left( { - {\rm{as}};0;\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{6}} \right)\\
(AMN) \bot (SBC) \Rightarrow {\overrightarrow n _{(AMN)}}.{\overrightarrow n _{(SBC)}} = 0\\
\Rightarrow - \frac{{{a^2}{s^2}}}{4} + \frac{{5{a^4}}}{{48}} = 0 \Rightarrow s = \frac{{a\sqrt 5 }}{{2\sqrt 3 }}\\
{S_{\Delta AMN}} = \frac{1}{2}|{\rm{[}}\overrightarrow {AM} {\rm{,}}\overrightarrow {AN} {\rm{]}}| = \frac{1}{2}\left| {\left( {\frac{{{a^2}\sqrt {15} }}{{24}};0;\frac{{5{a^2}\sqrt 3 }}{{24}}} \right)} \right|\\
\Rightarrow {S_{\Delta AMN}} = \frac{{{a^2}\sqrt {10} }}{{16}}
\end{array}$

Bài 107249

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107249

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan