|
|
$1.$ Phương trình elip có thể viết lại thành:
$\frac{{{x^2}}}{{{4^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{2^2}}} = 1$
$ \Rightarrow a = 4,\,b = 2\,,\,\,c\, = \sqrt {12} $
Các tiêu điểm lần lượt là ${F_1}\left( { - \sqrt {12} ;0} \right)\,\,;\,\,{F_2}\left( {\sqrt {12} ;0} \right)$
Tâm sai của Elip là: $e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
$2.$
Xét điểm $M(x_0;y_0)$ tùy ý đã cho thuộc Elip. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên đường thẳng $x = \frac{8}{{\sqrt 3 }}$.
Ta có: $M{F_2} = a - {\rm{e}}{{\rm{x}}_0} = \frac{{8 - \sqrt 3 {x_0}}}{2}$
$MH = \frac{8}{{\sqrt 3 }} - {x_0} = \frac{{8 - \sqrt 3 {x_0}}}{{\sqrt 3 }}$
$ \Rightarrow \frac{{M{F_2}}}{{MH}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow $Tỉ số khoảng cách từ $M$ tới tiêu điểm phải $F_2$ và tới đường thẳng $x = \frac{8}{{\sqrt 3 }}$ có giá trị không đổi.
$3.$
($C$) có phương trình:
$\begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + 4\sqrt 3 x - 4 = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {x + 2\sqrt 3 } \right)^2} + {y^2} = 16
\end{array}$
Do đó ($C$) có tâm là ${F_1}( - 2\sqrt 3 ;0)\,\,\,\,;\,\,\,R = 4$
Gọi $({x_0};{y_0})$ là tâm và $r$ là bán kính của đường tròn ($C’$) qua $F_2$ và tiếp xúc ($C$) thì ($C’$) có phương trình:
${\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {(y - {y_0})^2} = {r^2}$
Vì ${F_2}(\sqrt {12} ;0) \in (C') \Rightarrow {\left( {\sqrt {12} - {x_0}} \right)^2} + {\left( {0 - {y_0}} \right)^2} = {r^2}\,\,(1)$
Vì ($C$) và ($C’$) tiếp xúc ngoài nên: $R + r = F_1N$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 4 + r = {F_1}N\\
\Leftrightarrow {(4 + r)^2} = {\left( {{x_0} + 2\sqrt 3 } \right)^2} + y_0^2\\
\Leftrightarrow 16 + 8r + {r^2} = x_0^2 + 4\sqrt 3 {x_0} + 12 + y_0^2\,\,\,(2)
\end{array}$
Thế ($1$) vào ($2$) ta có:
$r = \sqrt 3 {x_0} - 2$, thế trở lại vào ($1$) và rút gọn ta được:
$\begin{array}{l}
2x_0^2 - y_0^2 = 8\\
\Leftrightarrow \frac{{x_0^2}}{4} - \frac{{y_0^2}}{8} = 1
\end{array}$
Do đó tâm $N({x_0};{y_0})$ của ($C’$) luôn nằm trên một Hypebol cố định $\frac{{x_0^2}}{4} - \frac{{y_0^2}}{8} = 1$
|