Bài 106681

Question

Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ với cạnh bằng $a$. Giả sử $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $DD’.$
$1.$ Chứng minh rằng $MN$ song song với mặt phẳng $(A’BD)$
$2.$ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $MN$ theo $a.$

score 0 · Answer 1

$1.$ Gọi $K$ là trung điểm $DC$, ta có $MK // BD$ và $KN // C’D’ ‘’ DA’.$
$Mp (MKN) // (A’BD)$, do đó: $MN // (A’BD)$
$2.$ Giả sử $AC$ cắt $BD$ và $KM$ lần lượt tại $E$ và $F$. Ta có:
$MN // (A’BD)$ và $(A’BD)$ chứa $BD$ nên $d(MN, BD) = d(F,(A’BD))$
Lại có: $FE =\frac{1}{2} EA$ nên $d(MN, BD) =\frac{1}{2} d(F,(A’BD)) = \frac{1}{2} d(A, (A’BD))$
Kẻ $AH$ vuông góc $A’E$. Dễ thấy $AH$ vuông góc $(A’BD) \Leftrightarrow d(MN,BD) = \frac{1}{2} d(A,(A’BD) =\frac{1}{2} AH$
Trong tam giác vuông $A’AE$ có: $\frac{1}{{A{H^2}}}=\frac{1}{{A{E^2}}}+\frac{1}{{{\rm{AA}}{'^2}}}$
Thay $AE=\frac{a\sqrt{2} }{\sqrt{2} } ,AA'=a $ ta tính được $ AH = \frac{a}{{\sqrt 3 }}$
ĐS : $d(MN,BD) = \frac{a}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}$

Bài 106681

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106681

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan