Bài 106580

Question

Cho góc tam diện

$3$ mặt vuông

$Oxyz$ . Trên

$Ox, Oy, Oz$ lần lượt lấy các điểm

$A, B, C.$

$1.$ Tính diện tích tam giác

$ABC$ theo

$OA = a, OB = b, OC = c.$

$2.$ Giả sử

$A, B, C$ thay đổi nhưng luôn có:

$OA + OB + OC + AB + BC + CA = k$ (không đổi)
Hãy xác định giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện

$OABC.$

score 0 · Answer 1

$1.$ Kẻ

$OH$ vuông góc

$AB$ thì

$CH$ vuông góc

$AB$ (định lý

$3$ đường vuông góc). Ta có:

$\begin{array}{l} \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}}\\ \Rightarrow O{H^2} = \frac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\\ \Rightarrow C{H^2} = O{C^2} + O{H^2} = \frac{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\\ \Rightarrow dt\Delta ABC = \frac{1}{2}AB.CH = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \end{array}$

$2.$ Từ giả thiết ta có:

$\begin{array}{l} k = a + b + c + \sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{b^2} + {c^2}} + \sqrt {{a^2} + {c^2}} \\ \ge 3.\sqrt[3]{{abc}} + \sqrt {2ab} + \sqrt {2bc} + \sqrt {2ac} \\ \ge 3.\sqrt[3]{{abc}} + 3.\sqrt[3]{{\sqrt {2ab} \sqrt {2bc} \sqrt {2ac} }} = 3\sqrt[3]{{abc}} + 3\sqrt 2 .\sqrt[3]{{abc}}\\ \Rightarrow k \ge 3(1 + \sqrt 2 ).\sqrt[3]{{abc}} \Rightarrow \sqrt[3]{{abc}} \le \frac{k}{{3(1 + \sqrt 2 )}}\\ \Rightarrow abc \le {\left( {\frac{k}{{3(1 + \sqrt 2 )}}} \right)^3} \Rightarrow V = \frac{1}{6}abc \le \frac{{{k^3}}}{{162{{(1 + \sqrt 2 )}^2}}} \end{array}$
V đạt giá trị lớn nhất

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = b = c\\ k = 3a + 3a\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \frac{k}{{3(1 + \sqrt 2 )}}$

$\Rightarrow \max V = \frac{{{k^3}}}{{162{{(1 + \sqrt 2 )}^2}}}$

Bài 106580

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106580

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan