Bài 106477

Question

Cho Parabol: $y^2= 4x$
$a)$ Chứng minh rằng từ điểm $N$ tùy ý thuộc đường chuẩn của Parabol có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến Parabol mà hai tiếp tuyến ấy vuông góc nhau.
$b)$ Gọi $T_1; T_2$ lần lượt là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến nói ở câu trên.
Chứng minh rằng đường thẳng $T_1,T_2$ luôn đi qua một điểm cố định khi $N$ chạy trên đường chuẩn của Parabol.
$c)$ Cho $M$ là một điểm thuộc Parabol ($M$ khác đỉnh của Parabol). Tiếp tuyến tại $M$ của Parabol cắt các trục $Ox, Oy$ lần lượt tại $A, B$. Tìm quỹ tích trung điểm $I$ của $AB$ khi $M$ chạy trên Parabol đã cho.

score 0 · Answer 1

$a)$ Parabol ${y^2} = 4x$ có tiêu điểm $F(1;0)$ và đường chuẩn $x =-1$
Xét điểm $N(-1;a)$ thuộc đường chuẩn. Đường thẳng đi qua N( không trùng với đường chuẩn) có PT: $kx – y + k + a = 0(*)$
$2{( - 1)^2} = 2k(k + a)$
$ \Leftrightarrow {k^2} + ak - 1 = 0 (1)$
Ta thấy $\forall a$, ($1$) luôn có 2 nghiệm phân biệt có tích ${k_1}{k_2} =- 1$. Do đó $\forall N( -1;a)$thuộc đường chuẩn, từ $N$ luôn kẻ được tới Parabol $2$ tiếp tuyến vuông góc nhau.
$b)$ Thay PT Parabol vào (*) ta được :
$\frac{ky^2}{4}-y+k+a=0(2)$
Tiếp tuyến $N{T_1}$ có tiếp điểm $T_1(x_1;y_1)$ và hệ số góc $k_1$, trong đó $y_1$ là nghiệm kép của $(2)$ ứng với $k = k_1 \Rightarrow {y_1} = \frac{2}{{{k_1}}} \Rightarrow {x_1} = \frac{1}{{k_1^2}}$
Tương tự tiếp tuyến $NT_2$ có tiếp điểm $T_2(x_2;y_2)$ với ${x_2} = \frac{1}{{k_2^2}};{y_2} = \frac{2}{{{k_2}}}$. Xét các véc tơ $\overrightarrow {F{T_1}} ;\overrightarrow {F{T_2}} $
$\begin{array}{l}
\overrightarrow {F{T_1}} = \left( {{x_1} - 1;{y_1} - 0} \right) = \left( {\frac{1}{{k_1^2}} -
1;\frac{2}{{{k_1}}}} \right) = \left( {\frac{{1 - k_1^2}}{{k_1^2}};\frac{2}{{{k_1}}}} \right)\\= \frac{1}{{{k_1}}}(a;2)
\end{array}$
(Do $k_1; k_2$ là nghiệm của ($1$) $ \Rightarrow 1 - k_1^2 = a{k_1}$)
Tương tự:
$\overrightarrow {F{T_2}} = \frac{1}{{{k_2}}}(a;2)$
Do đó $\overrightarrow {F{T_1}} ;\overrightarrow {F{T_2}} $ là 2 véc tơ cộng tuyến $ \Rightarrow
F;{T_1};{T_2}$ thẳng hàng $\Leftrightarrow {T_1}{T_2}$ luôn đi qua điểm đố định $F(1;0).$
$c)$ Giả sử $M(x_0;y_0)$ thuộc Parabol, $M \ne 0$ tức là $y_0^2 = 4x,{x_0} \ne 0$. Tiếp tuyến tại $M$ có phương trình:
${y_0}y = 2({x_0} + x)\,\,\,(3)$
Cho $x = 0$, $(3) \Rightarrow y = \frac{{2{x_0}}}{{{y_0}}} = \frac{{4{x_0}}}{{2{y_0}}} = \frac{{{y_0}}}{2}$ là tung độ của $B$
Cho $y = 0 (3) \Rightarrow x = - {x_0} = - \frac{{y_0^2}}{4}$ là hoành độ của $A$.
Trung điểm $I$ của $AB$ có tọa độ :
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x_I} = \frac{{{x_A}}}{2} = - \frac{{y_0^2}}{8}\\
{y_I} = \frac{{{y_B}}}{2} = \frac{{{y_0}}}{4}
\end{array} \right. \Rightarrow {y_0} = 4{y_I}\\
\Rightarrow {x_I} = - \frac{{{{(4{y_I})}^2}}}{8} = -2y_I^2 \Leftrightarrow y_I^2 = - \frac{1}{2}{x_I}
\end{array}$
Quỹ tích $I$ là parabol với phương trình ${y^2} = - \frac{1}{2}x$

Bài 106477

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106477

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan