Bài 106444

Question

Cho tứ diện $ABCD. Gọi A_1; B_1; C_1; D_1$ tương ứng là trọng tâm của các tam giác $BCD, ACD$ và $ABC$. Gọi $G$ là giao điểm của $BB_1; AA_1.$
$1.$ Chứng minh: $\frac{AG}{AA_1}= \frac{3}{4}$
$2.$ Chứng minh rằng: $AA_1;BB_1;CC_1;DD_1$ đồng quy.

score 0 · Answer 1

$1$ Gọi $M$ là trung điểm của $CD$
Vì $A_1;B_1$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD$ và $ACD$ nên $A_1\in BM;B_1\in AM$ và $\frac{MA_1}{MB}=\frac{MB_1}{MA}=\frac{1}{3} $
Do đó $A_1B_1//AB$ và $\frac{A_1B_1}{AB} =\frac{MA_1}{MB}=\frac{1}{3} \Rightarrow \frac{GA_1}{GA}=\frac{A_1B_1}{AB} =\frac{1}{3} $
Từ đó ta được : $\frac{AG}{AA_1} =\frac{3}{4} $
$2.$ Ta có vai trò các đường $AA_1,BB_1,CC_1,DD_1$ như nhau và $AA_1,BB_1$ cắt nhau tại $G$, cũng tương tự ta được các đường khác cũng cắt nhau từng đôi một.thế thì $CC_1$ cắt $AA_1,BB_1$ đồng thời $CC_1$ không nằm trong mặt phẳng $(ABM)\Rightarrow CC_1$ phải đi qua $G$.Vậy $AA_1,BB_1,CC_1,DD_1$ đồng qui tại $G$ (đpcm)
Chứng minh tương tự ta được $DD_1$ đi qua $G$
Lưu ý : Người ta gọi $G$ là trọng tâm của tứ diện, các đường $AA_1,BB_1,CC_1,DD_1$ là trọng tuyến
Ta có : $\frac{AG}{AA_1}=\frac{BG}{BB_1}=\frac{CG}{CC_1} =\frac{DG}{DD_1} =\frac{3}{4} $

Bài 106444

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106444

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan