|
|
$1. (P)$ có tiêu điểm $F\left( {\frac{1}{4};0} \right)$. Nếu $(d) // Oy$ thì ($d$) có phương trình $x =
\frac{1}{4}$. Thế vào ${y^2} = x$ ta được $y = \pm \frac{1}{2}$ do đó ${M_1}\left(
{\frac{1}{4};\frac{1}{2}} \right)\,\,;{M_2}\left( {\frac{1}{4}; - \frac{1}{2}} \right)\,\, \Rightarrow {M_1}{M_2} = \frac{1}{2} - \left( { - \frac{1}{2}} \right) = 1$
$2.$ Nếu ($d$) có hệ số góc $k$ thì ($d$) có phương trình $y = k\left( {x - \frac{1}{4}} \right)\,\,\,(1)$ thế $x
= y_2$ vào ($1$) ta được:
$y = k\left( {{y^2} - \frac{1}{4}} \right) \Leftrightarrow k{y^2} - y - \frac{k}{4} = 0\,\,\,(2)$
Khi $k=0$, (d) chỉ cắt parabol tại 1 điểm nên ta chỉ xét :
Với $k \ne 0,\,(2)$có $2$ nghiệm phân biệt trái dấu $y_1; y_2$ có: ${y_1} + {y_2} =
\frac{1}{k};\,\,{y_1}{y_2} = - \frac{{{1}}}{4}$. Đường thẳng ($d$) cắt ($P$) tại ${M_1}\left(
{{x_1};{y_2}} \right)$ và ${M_2}\left( {{x_2};{y_2}} \right)$
Ta có:
$\begin{array}{l}
{M_1}M_2^2 = (x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=\left( {y_2^2 - y_1^2} \right)^2 + {\left( {{y_2} - {y_1}} \right)^2}\\
= {\left( {{y_2} - {y_1}} \right)^2}\left[ {{{\left( {{y_2} + {y_1}} \right)}^2} + 1} \right]\\
= \left[ {{{\left( {{y_2} + {y_1}} \right)}^2} - 4{y_2}{y_1}} \right]\left( {{{\left( {{y_2} + {y_1}}
\right)}^2} + 1} \right)\\
= \left( {\frac{1}{{{k^2}}} + 1} \right) + \left( {\frac{1}{{{k^2}}} + 1} \right) \ge 2\left(
{\frac{1}{{{k^2}}} + 1} \right) > 2\\
\Rightarrow {M_1}{M_2} > \sqrt 2 > 1
\end{array}$
Do đó ${M_1}{M_2}$ ngắn nhất $ \Leftrightarrow (d) // Oy$ $ \Leftrightarrow $${M_1}\left(
{\frac{1}{4};\frac{1}{2}} \right)\,\,;{M_2}\left( {\frac{1}{4}; - \frac{1}{2}} \right)$
|