Bài 106386

Question

Cho Parabol (

$P$ ):

${y^2} = x$ và gọi

$F$ là tiêu điểm của (

$P$ ). Giả sử đường thẳng (

$d$ ) đi qua

$F$ cắt (

$P$ ) tại hai điểm

$M_1$ ;

$M_2$

$1.$ Tính

$M_1M_2$ khi (

$d$ ) song song với

$Oy.$

$2.$ Giả sử (

$d$ ) không song song với

$Oy$ . Gọi

$k$ là hệ số góc của (

$d$ ). Tính

$M_1M_2$ theo

$k$ . Xác định các điểm

$M_1;M_2$ sao cho

$M_1M_2$ ngắn nhất.

score 0 · Answer 1

$1. (P)$ có tiêu điểm

$F\left( {\frac{1}{4};0} \right)$ . Nếu

$(d) // Oy$ thì (

$d$ ) có phương trình

$x = \frac{1}{4}$ . Thế vào

${y^2} = x$ ta được

$y = \pm \frac{1}{2}$ do đó

${M_1}\left( {\frac{1}{4};\frac{1}{2}} \right)\,\,;{M_2}\left( {\frac{1}{4}; - \frac{1}{2}} \right)\,\, \Rightarrow {M_1}{M_2} = \frac{1}{2} - \left( { - \frac{1}{2}} \right) = 1$

$2.$ Nếu (

$d$ ) có hệ số góc

$k$ thì (

$d$ ) có phương trình

$y = k\left( {x - \frac{1}{4}} \right)\,\,\,(1)$ thế

$x = y_2$ vào (

$1$ ) ta được:

$y = k\left( {{y^2} - \frac{1}{4}} \right) \Leftrightarrow k{y^2} - y - \frac{k}{4} = 0\,\,\,(2)$
Khi

$k=0$ , (d) chỉ cắt parabol tại 1 điểm nên ta chỉ xét :
Với

$k \ne 0,\,(2)$ có

$2$ nghiệm phân biệt trái dấu

$y_1; y_2$ có:

${y_1} + {y_2} = \frac{1}{k};\,\,{y_1}{y_2} = - \frac{{{1}}}{4}$ . Đường thẳng (

$d$ ) cắt (

$P$ ) tại

${M_1}\left( {{x_1};{y_2}} \right)$ và

${M_2}\left( {{x_2};{y_2}} \right)$
Ta có:

$\begin{array}{l} {M_1}M_2^2 = (x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=\left( {y_2^2 - y_1^2} \right)^2 + {\left( {{y_2} - {y_1}} \right)^2}\\ = {\left( {{y_2} - {y_1}} \right)^2}\left[ {{{\left( {{y_2} + {y_1}} \right)}^2} + 1} \right]\\ = \left[ {{{\left( {{y_2} + {y_1}} \right)}^2} - 4{y_2}{y_1}} \right]\left( {{{\left( {{y_2} + {y_1}} \right)}^2} + 1} \right)\\ = \left( {\frac{1}{{{k^2}}} + 1} \right) + \left( {\frac{1}{{{k^2}}} + 1} \right) \ge 2\left( {\frac{1}{{{k^2}}} + 1} \right) > 2\\ \Rightarrow {M_1}{M_2} > \sqrt 2 > 1 \end{array}$
Do đó

${M_1}{M_2}$ ngắn nhất

$\Leftrightarrow (d) // Oy$

$\Leftrightarrow$

${M_1}\left( {\frac{1}{4};\frac{1}{2}} \right)\,\,;{M_2}\left( {\frac{1}{4}; - \frac{1}{2}} \right)$

Bài 106386

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106386

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan