Bài 106021

Question

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề các vuông góc $Oxy$, cho elíp $(E)$ có phương trình $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$. Xét điểm $M$ chuyển động trên tia $Ox$ và điểm $N$ chuyển động trên tia $Oy$ sao cho đường thẳng $MN$ luôn tiếp xúc với $(E)$. Xác định toạ độ của $M, N$ để đoạn $MN$ có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.

phuongna · Answer 1 · 5/29/2012 10:12:31 AM

Giả sử $M(m;0)$ và $N(0;n)$ $(m > 0, n >0)$ là hai điểm chuyển động trên tia $Ox$ và $Oy$.
Đường thẳng $MN$ có phương trình:$\frac{x}{m}+\frac{y}{n}-1=0$
Đường thẳng $MN$ tiếp xúc với $(E)$ khi và chỉ khi phương trình tương giao có nghiệm duy nhất, tức là : $16(\frac{1}{m})^2+9(\frac{1}{n}^2)=1$
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: $MN^{2}=m^{2}+n^{2}=(m^{2}+n^{2})\left ( \frac{16}{m^{2}}+\frac{9}{n^{2}} \right )=25+16\frac{n^{2}}{m^{2}}+9\frac{m^{2}}{n^{2}}\geq 25+2\sqrt{16.9}=49$
$\Rightarrow MN\geq 7$
Bất đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\mathop {16n}\nolimits^2 }}{{\mathop m\nolimits^2 }} = \frac{{\mathop {9m}\nolimits^2 }}{{\mathop n\nolimits^2 }}\\
\mathop m\nolimits^2 + \mathop n\nolimits^2 = 49\\
m > 0, n >0
\end{array} \right.\Leftrightarrow m=2\sqrt{7}, n=\sqrt{21}$
Kết luận: Với $M(2\sqrt{7};0), N(0; \sqrt{21})$ thì $MN$ đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị và giá trị nhỏ nhất $MN=7$.

Bài 106021

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106021

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan