Bài 106014

Question

Giải bất phương trình: $\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}>1$

score 0 · Answer 1

Điều kiện: $(\sin x\geq 0, \cos x\geq 0) \Leftrightarrow k2\pi \leq x\leq \frac{\pi}{2}+k2\pi$
Ta có: $\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}>1 \Leftrightarrow \sin x+\cos x+2\sqrt{\sin x.\cos x}>1$
$\Leftrightarrow t+2\sqrt{\frac{t^1-1}{2}}>1$ (với $t=\sin x+\cos x, t^2=1+2\sin x.\cos x$)
$\Leftrightarrow \sqrt{2(t^2+1)}>1 1-t \Leftrightarrow 1-t<0$ hoặc $\begin{cases}2(t^2-1)>(1-t)^2 \\ t \leq 1 \end{cases}$
$\Leftrightarrow t>1$ hoặc $\begin{cases}t^2+2t-3>0 \\ t\leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow t>1$ hoặc $\begin{cases}t<-3 \vee t>1 \\ t\leq 1 \end{cases}$
$\Leftrightarrow t>1$ hoặc $t<-3$
* Với $t<-3 : \sin x+\cos x<-3 \Leftrightarrow \sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi}{4})<-3$
Bất phương trình này vô nghiệm vì
$\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})\geq -\sqrt{2}>-3$
* Với $t>1 : \sin x+\cos x>1 \Leftrightarrow \sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi}{4})>1$
$\sin(x+\frac{\pi}{4})\geq -\sqrt{2}>\frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \frac{\pi}{4}+k2\pi<x+\frac{\pi}{4}<\frac{3\pi}{4}+k2\pi$($k\in Z$)
$\Leftrightarrow k2\pi<x<\frac{\pi}{2}+k2\pi$
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm: $ k2\pi<x<\frac{\pi}{2}+k2\pi$

Bài 106014

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106014

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan