Bài 105849

Question

Cho tứ diện

$OABC$ có cạnh

$OA, OB, OC$ đôi một vuông góc với nhau và

$OA = OB = OC = a$ . Kí hiệu

$K, M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh

$AB, BC, CA$ . Gọi

$E$ là điểm đối xứng của

$O$ qua

$K$ và

$I$ là giao điểm của CE với mặt phẳng

$(OMN).$

$1$ . Chứng minh

$CE$ vuông góc với mặt phẳng

$(OMN)$

$2$ . Tính diện tích của tứ giác

$OMIN$ theo

$a.$

score 0 · Answer 1

$1.$ Theo giả thiết ta có

$OAEB$ là hình vuông nên

$BE \bot OB$ mà

$OC \bot$ (OAB) nên

$BE \bot (OBC)$ . Do đó:

$BE \bot OM.$
Ta lại có

$OM \bot CB$ (tam giác

$OBC$ cân và

$M$ là trung điểm

$BC$ ) nên

$OM \bot (BEC).$
Suy ra

$OM \bot CE.$
Tương tự

$ON \bot (AEC$ ) nên

$ON \bot CE.$
Vậy

$CE \bot (OMN)$

$2.$ Ta có :

$AB \bot (OCE$ ) và

$MN // AB$ (đường trung bình tam giác

$ABC$ ) nên

$MN \bot (OCE)$
suy ra

$MN \bot OI.$
Từ đó :

${S_{OMIN}} = \frac{1}{2}MN.OI$
Ta có :

$MN = \frac{{AB}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

$OI$ là đường cao tam giác vuông

$COE$ nên :

$\frac{1}{{O{I^2}}} = \frac{1}{{O{C^2}}} + \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{3}{{2{a^2}}} \Rightarrow OI = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$
Vậy

${S_{OMIN}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{6}$

Bài 105849

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105849

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan