Bài 105749

Question

Xét tích phân: ${I_n} = \int\limits_0^1 {\sin^nxdx} $, với $n$ là số nguyên dương.
Chứng minh: $\frac{{{{\left({\sin 1} \right)}^{n + 1}}}}{{n + 1}} < {I_n} < \frac{1}{{n + 1}}$

score 0 · Answer 1

Xét $f(x) = \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{x}\,;\,x \in \left( {0;1} \right)
\subset \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$. Ta có:
$f'(x) = \frac{{\cos x(x - {\mathop{\rm t}\nolimits} {{anx}})}}{{{x^2}}} < 0\forall x \in
\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$. Do đó $f(x)$ nghịch biến trong $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$,
vì vậy $f(1) < f(x) < \mathop {{\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{imf}}(x)}\limits_{x \to 0}
,\,\forall x \in (0;1)$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \sin 1 < \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{x} < 1 \Rightarrow x\sin
1 < {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} < x\\
\Rightarrow {x^n}{\left( {\sin 1} \right)^n} < {\sin ^n}x < {x^n}\Rightarrow {(\sin 1)^n}.\int\limits_0^1
{{x^n}} dx < {I_n} < \int\limits_0^1 {{x^n}} dx\\
\Rightarrow \frac{{{{\left( {\sin 1} \right)}^{n + 1}}}}{{n + 1}} < {I_n} < \frac{1}{{n + 1}}
\end{array}$

Bài 105749

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105749

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan