Bài 105504

Question

Cho

$y = \sin ^25x$ . Tìm

$y^{(n)}$

score 0 · Answer 1

Ta có :

$y=\frac{1-cos10x}{2}=\frac{1}{2} +\frac{1}{2} sin(10x-\frac{\pi}{2} )$

$\Rightarrow y^/=\frac{1}{2} (sin(10x-\frac{\pi}{2} ))^/=\frac{1}{2} .10cos(10x-\frac{\pi}{2} )=\frac{-1}{2} .10sin(10x-\pi)$

$\Rightarrow y^{//}=\frac{-1}{2} .10(sin(10x-\pi))^/=+\frac{1}{2} .10.10sin(10x-\frac{3\pi}{2} )$

$\Rightarrow y^{///}=\frac{-1}{2} .10^3sin(10x-\frac{4\pi}{2} )$
Tổng quát

$y^{(n)}=\frac{(-1)^n}{2} 10^n.sin(10x-\frac{(n+1)\pi}{2} ) (1)$

Với $n=1: (1)$ đúng

Giả sử : (1) đúng với $n=k$ , ta cần chứng minh $(1)$ đúng với $n=k+1$ :

$y^{(n+1)}=\frac{(-1)^n}{2}.10^n.10.\cos(10x-\frac{(n+1)\pi}{2})$

$=\frac{(-1)^{n+1}}{2}.10^{n+1}\sin(10x-\frac{(n+2)\pi}{2})$ $\Rightarrow (1)$ đúng với $n=k+1$

Vậy (1) đúng

1 Đáp án