Bài 105475

Question

1) Tùy theo các giá trị khác nhau của $a$, hãy chỉ ra tập xác định của hàm số
$y = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + a} } \right)$.
2) Hãy tính đạo hàm $y’$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/24/2012 9:42:22 AM

$1)$ Trường hợp $a > 0$. Căn bậc hai $\sqrt {{x^2} + a} $ có nghĩa với mọi $x$, và ta có
    $\sqrt {{x^2} + a} > \sqrt {{x^2}} = \left| x \right|$
Do vậy $x + \sqrt {{x^2} + a} > x + \left| x \right| \ge 0$, và hàm số $y$ được xác định với mọi $x$.
Trường hợp $a = 0$. Từ lập luận trên suy ra hàm số $y$ được xác định với mọi $x \ne 0$
Trường hợp $a < 0$. Đặt $a = - {\alpha ^2}$ với $\alpha > 0$, ta có
    $y = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} - {\alpha ^2}} } \right)$
Căn bậc hai $\sqrt {{x^2} - {\alpha ^2}} $ được xác định khi $\left| x \right| \ge \alpha $.

a) Nếu $x \ge \alpha $ thì $x + \sqrt {{x^2} - {\alpha ^2}} \ge x > 0$, vậy hàm số được xác định.

b) Nếu $x \le - \alpha $, thì ta cần có
    $x + \sqrt {{x^2} - {\alpha ^2}} > 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - {\alpha ^2}} > - x$
Cả hai vế đều dương, có thể bình phương và ta được.
    ${x^2} - {\alpha ^2} > {x^2} \Rightarrow - {\alpha ^2} > 0$    (vô lý).
Thành thử hàm số được xác định khi $x \ge \alpha = \sqrt { - a} $.
Kết luận : Tập xác định của hàm số $y = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + a} } \right)$ là:
-    Nếu $a > 0:{\rm{ R}}$
-    Nếu $a = 0:{\rm{ R\backslash \{ }}0\} $
-    Nếu $a < 0:{\rm{ [}}\sqrt { - a} ; + \infty )$

$2)$ $y' = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + a} }}$

Bài 105475

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105475

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan