Bài 105413

Question

Cho hàm số $f(x)$ xác định, liên tục trên đoạn $[0 ; 1]$, có đạo hàm trên khoảng $(0;1)$, nhận giá trị trên đoạn $[0 ; 1]$, ngoài ra $f(0) = 0, f(1)=1$
Chứng minh rằng tồn tại $a,b \in (0{; 1), a} \ne b$, sao cho $f'(a)f'(b) = 1$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/23/2012 4:28:19 PM

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

Xét hàm số $g(x) = f(x) + x - 1$ xác định, liên tục trên $[0 ; 1]$, có đạo hàm trên khoảng $(0 ; 1)$ (theo giả thiết)
Ngoài ra $g(0) = - 1,{\rm{ g(1)}} = 1$ do đó tồn tại $c \in (0{\rm{ ; 1)}}$ sao cho $g(c) = 0$.

Theo định lý Lagrang tìm được $a \in (0{\rm{ ; c), b}} \in (c, 1)$ sao cho
$g'(a) = \frac{{g(c) - g(0)}}{c} = \frac{1}{c}$
$g'(b) = \frac{{g(1) - g(c)}}{{1 - c}} = \frac{1}{{1 - c}}$

Mặt khác, $g'(a) = f'(a) + 1,{\rm{ }}g'(b) = f'(b) + 1$
$ \Rightarrow f'(a) = g'(0) - 1 = \frac{{1 - c}}{c},{\rm{ }}f'(b) = g'(b) - 1 = \frac{c}{{1 - c}}$
Vậy $f'(a).f'(b) = \frac{{1 - c}}{c}.\frac{c}{{1 - c}} = 1$

Đăng bài 23-05-12 04:28 PM

hoàng anh thọ
15 1

175K 551K

Bài 105413

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105413

1 Đáp án

Liên quan

HÀM SỐ LIÊN TỤC

Lý thuyết liên quan