Bài 105345

Question

Cho hệ: $\begin{cases}\frac{x}{y} +\sin x= a (1)\\ \frac{y}{x}+\sin y =a (2) \end{cases} (0<x\leq 2\pi; 0<y\leq 2\pi)$
Tìm $a$ để hệ có nghiệm duy nhất

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/23/2012 2:25:40 PM

Chú ý rằng nếu $(x, y)$ là nghiệm của hệ thì $(y, x)$ cũng là nghiệm.
Vậy để hệ có nghiệm duy nhất, điều kiện cần là $x = y$. Thay vào $(1):$
$1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = a \Rightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = a - 1$
Có nghiệm duy nhất khi $0 < x \le 2\pi $ khi $a - 1 = \pm 1 \Rightarrow a = 0$ hoặc $a = 2$.

Điều kiện đủ:
•    Với $a = 0$ hệ trở thành
$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{x}{y} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = 0{\rm{   (3)}}\\
\frac{y}{x} + \sin y = 0{\rm{    (4)}}
\end{array} \right.{\rm{     }}$
Hệ này có nghiệm duy nhất với $x,y \in (0,2\pi )$.
Nếu $x \ne y$; vô nghiệm do trong hai số $\frac{x}{y}$ và $\frac{y}{x}$ sẽ có một số $ > 1$
Nếu $x = y$ hệ dẫn tới ${\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = \sin y = - 1 \Leftrightarrow x = y = \frac{{3\pi }}{2}$.
•    Với $a = 2$ hệ trở thành
    $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{x}{y} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = 2{\rm{   (5)}}\\
\frac{y}{x} + \sin y = 2{\rm{    (6)}}
\end{array} \right.{\rm{     }}$
Nếu $x \ne y$: vô nghiệm do $\min \left( {\frac{x}{y},\frac{y}{x}} \right) < 1$.
Nếu $x = y$ : ${\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = \sin y = 1 \Leftrightarrow x = y = \frac{\pi }{2}$.
•    Kết luận : $a = 0, a = 2$

Bài 105345

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105345

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan