Bài 105296

Question

Cho hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
3{x^2} + 2x - 1 < 0\\
{x^3} + 3mx + 1 < 0
\end{array} \right.$
a) Giải hệ khi $m = - 1$
b) Với những giá trị nào của $m$ thì hệ có nghiệm

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/23/2012 11:05:18 AM

a) Khi $m = - 1$ hệ đã cho trở thành
    $\left\{ \begin{array}{l}
3{x^2} + 2x - 1 < 0{\rm{           (1)}}\\
{x^3} - 3x + 1 < 0{\rm{             (2)}}
\end{array} \right.$
$(1) \Leftrightarrow - 1 < x < 1/3$. Đối với (2) ta đặt $f(x) = {x^3} - 3x + 1$
Khi đó với $ - 1 < x \le 0$ ta có
    $f(x) = (1 + {x^3}) - 3x > 0$
Với $0 < x < 1/3$ ta có
    $f(x) = {x^3} + 3(1/3 - x) > 0 \Rightarrow (2)$vô nghiệm. Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

b) Bất phương trình đầu có nghiệm : $ - 1 < x < 1/3$.
Bất phương trình thứ hai tương đương với    $f(x) = {x^3} + 1 < - 3mx = g(x)$.
Từ đó để hệ đã cho có nghiệm, điều kiện cần và đủ là đường thẳng $g(x)$ cắt đồ thị hàm số $f(x)$ trong khoảng $ - 1 < x < 1/3$.
Ta có $f( - 1) = 0,{{ f(1/3)}} = 2{\rm{8/27}}$.
Đường thẳng đi qua $O(0,0)$ và $A(1/3,28/27)$ có phương trình $y = (28/9)x$.
Vậy để $g(x)$ cắt $f(x)$ cần có: $ - 3m < 0,{\rm{ }} - 3m > 28/9 \Leftrightarrow m > 0,{\rm{ m}} < - 28/27$.

Đáp số: ${ m} < - 28/27$

Bài 105296

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105296

1 Đáp án

Liên quan

Giải hệ bất phương trình

Lý thuyết liên quan