Bài 105283

Question

Xác định $m$ để hệ sau đây có nghiệm:$\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + \frac{{4{x^2}}}{{{{(x + 2)}^2}}} \ge 5\\
{x^4} + 8{x^2} + 16mx + 16{m^2} + 32m + 16 = 0.
\end{array} \right.$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/23/2012 10:40:53 AM

Điều kiện của nghiệm : $x \ne - 2$
Với điều kiện đó, phương trình đầu của hệ tương đương với:
$\begin{array}{l}
      {x^2}{(x + 2)^2} + 4{x^2} \ge 5{(x + 2)^2}\\
\Leftrightarrow {x^4} + 4{x^3} + 3{x^2} - 20x - 20 \ge 0{\rm{    (1)}}
\end{array}$
Vì $1 - 4 + 3 + 20 - 20 = 0$ nên vế trái của $(1)$ có nghiệm $x = - 1$; thực hiện phép chia đa thức ta có
$(1) \Leftrightarrow (x + 1)({x^3} + 3{x^2} - 20) \ge 0$
      $ \Leftrightarrow (x + 1)(x - 2)({x^2} + 5x + 10) \ge 0$
$ \Leftrightarrow (x + 1)(x - 2) \ge 0$ vì $({x^2} + 5x + 10) > 0,\forall {\rm{ x)}}$
      $ \Leftrightarrow x \le - 1{\rm{ (x}} \ne - 2)$ hoặc $x \ge 2$           $(2)$

Mặt khác, phương trình thứ hai của hệ tương đương với
      $16{m^2} + 16m(x + 2) + {({x^2} + 4)^2} = 0$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\rm{[}}(4m + 2{(x + 2)^2} + {({x^2} + 4)^2} - 4{(x + 2)^2}{\rm{]}} = 0\\
\Leftrightarrow {{\rm{[4m + 2(x + 2)]}}^2} + x(x - 2)({x^2} + 2x + 8) = 0{\rm{   (3)}}
\end{array}$
Do ${x^2} + 2x + 8 = {(x + 1)^2} + 7 > 0$ nên $(3)$ chỉ có nghiệm thỏa mãn $0 \le x \le 2$ $ (4)$
Từ $(2)$ và $(4)$ suy ra $x = 2$ (có thể) là nghiệm của hệ đã cho;
Thay vào $(3)$ ta có: $4m + 2(2 + 2) = 0 \Rightarrow m = - 2$

Đáp số $m = - 2$ (nghiệm của hệ: $x = 2$)

Bài 105283

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105283

1 Đáp án

Liên quan

Giải hệ bất phương trình

Lý thuyết liên quan