Bài 105277

Question

a) Giải hệ bất phương trình$\left\{ \begin{array}{l}
(x - 1)\log 2 + \log ({2^{x + 1}} + 1) < \log ({7.2^x} + 12)\\
{\log _x}(x + 2) > 2.
\end{array} \right. (*)$
b) Tìm các giá trị của $m$ để phương trình: $m{.2^{ - 2x}} - (2m + 1){2^{ - x}} + m + 4 = 0$
Có hai nghiệm bân biệt ${x_1},{x_2}$ (${x_1} < {x_2}$), sao cho ${x_1}$ nằm ngoài và ${x_2}$ nằm trong khoảng nghiệm của hệ (*).

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/23/2012 10:30:46 AM

a) Điều kiện của nghiệm : $x > 0,x \ne 1$.
(*) $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\lg \frac{{{2^{x - 1}}({2^x} + 1)}}{{{{7.2}^x} + 12}} < 0{\rm{       (1)}}\\
{\log _x}\frac{{x + 2}}{{{x^2}}} > 0{\rm{         (2)}}
\end{array} \right.$

Giải $(1)$
$(1)$ $ \Leftrightarrow \frac{{{2^{2x}} + {2^{x - 1}}}}{{{{7.2}^x} + 12}} < 1 \Leftrightarrow {2.2^x} + {2^{x - 1}} < {7.2^x} + 12$ $ \Leftrightarrow {2.2^x} - {13.2^x} - 24 < 0 (3)$
Đặt $t = {2^x} > 0$,
$(3)$ $ \Leftrightarrow 2{t^2} - 13t - 24 < 0 \Leftrightarrow 0 < t < 8 \Leftrightarrow {2^x} < {2^3} \Leftrightarrow x < 3$

Giải $(2)$
Với $0 < x < 1:\frac{{x + 2}}{{{x^2}}} < 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 > 0 \Leftrightarrow x < - 1,x > 2$: loại.
Với $x > 1:{\rm{ }}\frac{{x + 2}}{{{x^2}}} > 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 < 0 \Rightarrow 1 < x < 2$
Vậy nghiệm của (*) là $1 < x < 2$

b) Phương trình đã cho tương đương với
    $(m + 4){2^{2x}} - (2m + 1){2^x} + m = 0$            $(4)$
Đặt $t = {2^x} > 0$ , (4) trở thành
    $f(t) = (m + 4){t^2} - (2m + 1)t + m = 0,t > 0$        $(5)$
Do ${x_1} < 1 < {x_2} < 2$ nên $0 < {t_1} < 2 < {t_2} < 4$, trong đó ${t_1},{t_2}$ là nghiệm của $(5)$, $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f(0)f(2) < 0\\
f(2)f(4) < 0
\end{array} \right.{\rm{       }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m(m + 14) < 0\\
(m + 14)(9m + 60) < 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 14 < m < 0\\
- 14 < m < - 20/3
\end{array} \right. \Leftrightarrow - 14 < m < - 20/3$

Bài 105277

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105277

1 Đáp án

Liên quan

Giải hệ bất phương trình

Lý thuyết liên quan