Bài 105246

Question

Cho hệ phương trình tham số $m: (I) \left\{ \begin{array}{l} x^2+y^2=2(m+1)\\ (x+y)^2=4 \end{array} \right. $
Xác định giá trị của $m$ để hệ (I) có đúng hai nghiệm.

score 0 · Answer 1

$(I) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (x+y)^2-2xy=2(m+1)\\ x+y=2 \end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l} (x+y)^2-2xy=2(m+1)\\ x+y=-2 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow (A) \left\{ \begin{array}{l} x+y=2\\ xy=1-m \end{array} \right.$ hoặc $(B) \left\{ \begin{array}{l} x+y=-2\\ xy=1-m \end{array} \right.$

Vì $(x-y)^2=(x+y)^2-4xy\geq 0$ nên để các hệ phương trình (A) và (B) có nghiệm thì điều kiện là:
$$4-4(1-m)=4m\geq 0\Leftrightarrow m\geq 0$$
Hệ (A) có các nghiệm là các cặp nghiệm của phương trình:
$$X^2-2X+1-m=0                 (1)$$
Từ (1) suy ra:    $x=1+\sqrt{m},    y=1-\sqrt{m}$ hoặc   $x=1-\sqrt{m},     y=1+\sqrt{m}$

Hệ (B) có các nghiệm là các cặp nghiệm của phương trình:
$$X^2+2X+1-m=0                   (2)$$
Từ (2) ta có: $x=-1-\sqrt{m},       y=-1+\sqrt{m}$   hoặc   $x=-1+\sqrt{m},     y=-1-\sqrt{m}$
Nếu $m>0$ thì mỗi hệ (A) và (B) đều có hai nghiệm nên hệ (I) có 4 nghiệm. Để hệ (I) có đúng 1 nghiệm thì mỗi hệ (A) và (B) chỉ có đúng một nghiệm. Điều này chỉ xảy ra khi $m=0$. Khi đó hệ (I) có đúng hai nghiệm là $(\pm1;\pm1)$
Vậy chỉ có $m=0$ thỏa mãn đề bài.

score 0 · Answer 2

Ta có $(I) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (x+y)^2-2xy=2(m+1)\\ x+y=2 \end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l} (x+y)^2-2xy=2(m+1)\\ x+y=-2 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow (A) \left\{ \begin{array}{l} x+y=2\\ xy=1-m \end{array} \right.$ hoặc $(B) \left\{ \begin{array}{l} x+y=-2\\ xy=1-m \end{array} \right.$

Vì $(x-y)^2=(x+y)^2-4xy\geq 0$ nên để các hệ phương trình (A) và (B) có nghiệm thì điều kiện là:
$$S^2-4P\geq 0\Rightarrow 4-4(1-m)=4m\geq 0\Leftrightarrow m\geq 0$$
Hệ (A) có các nghiệm là các cặp nghiệm của phương trình:
$$X^2-2X+1-m=0                 (1)$$
Từ (1) suy ra: $\left\{ \begin{array}{l} x=1+\sqrt{m}  \\ y=1-\sqrt{m}  \end{array} \right.$ hoặc   $\left\{ \begin{array}{l} x=1-\sqrt{m} \\ y=1+\sqrt{m}  \end{array} \right., $

Hệ (B) có các nghiệm là các cặp nghiệm của phương trình:
$$X^2+2X+1-m=0                   (2)$$
Từ (2) ta có: $\left\{ \begin{array}{l} x=-1-\sqrt{m} \\ y=-1+\sqrt{m}  \end{array} \right. $   hoặc   $\left\{ \begin{array}{l}x=-1+\sqrt{m} \\ y=-1-\sqrt{m}  \end{array} \right., $

Để hệ đã cho có đúng 2 nghiệm thì có các trường hợp sau:
+ (A) có 2 nghiệm, (B) vô nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m>0\\ m<0 \end{array} \right.$ (vô lý)
+ (A) vô nghiệm, (B) có 2 nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m<0\\ m>0 \end{array} \right.$  (vô lý)
+ (A) và (B) có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1+\sqrt m=1-\sqrt m\\-1+\sqrt m=-1-\sqrt m  \end{array} \right.\Rightarrow m=0.$
Vậy m=0 thỏa mãn đề bài.

Bài 105246

2 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105246

2 Đáp án

Liên quan

Hệ phương trình đối xứng loại I + II và các bài toán liên quan

Lý thuyết liên quan