Bài 105063

Question

Cho $0<x_1<x_2<...<x_n<\frac{\pi}{2}$, chứng minh rằng:
$\tan x_1<\frac{\sin x_1+\sin x_2+...+\sin x_n}{\cos x_1+\cos x_2+...+\cos x_n}<\tan x_n$

score 0 · Answer 1

Hàm số $\sin x$ tăng trong khoảng $(0;\frac{\pi}{2})$, do đó từ giả thiết ta được:
$0<\sin x_1<\sin x_2<...<\sin x_n<1$
$\Rightarrow 0<n.\sin x_1<\sin x_1+\sin x_2+...+\sin x_n<n.\sin x_n    (1)$
Hàm số $\cos x$ giảm trong khoảng $(0;\frac{\pi}{2})$, do đó từ giả thiết ta được:
    $1>\cos x_1>\cos x_2>...>\cos x_n>0$
    $\Rightarrow n.\cos x_1>\cos x_1+\cos x_2+...+\cos x_n> n.\cos x_n>0$
    $\Leftrightarrow \frac{1}{n.\cos x_1}<\frac{1}{\cos x_1+\cos x_2+...+\cos x_n}<\frac{1}{n.\cos x_n}.       (2)$
Nhân theo vế $(1),(2)$ , ta được bất đẳng thức cần chứng minh.

Bài 105063

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105063

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan