Bài 105000

Question

Tìm $a,b$ để phương trình sau có nghiệm duy nhất
$\sqrt[3]{(ax+b)^2}+\sqrt[3]{(ax-b)^2}+\sqrt[3]{a^2x^2-b^2}=\sqrt[3]{b} (1)$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/21/2012 11:03:18 AM

Dễ thấy $x$ là nghiệm thì $ - x$ cũng là nghiệm. Vậy để $(1)$ có nghiệm duy nhất điều kiện cần là $x = 0$ phải là nghiệm. Thay $x = 0$ vào $(1)$ ta được:
$\sqrt[3]{{{b^2}}} = \sqrt[3]{b} \Rightarrow b = 0,b = 1$

Với $b = 0$: $(1)$ trở thành $3\sqrt[3]{{{{\rm{a}}^2}{{\rm{x}}^2}}} = 0$
$ \Leftrightarrow {{\rm{a}}^2}{{\rm{x}}^2} = 0$ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $a \ne 0$

Với $b = 1:$ $(1)$ trở thành
$\sqrt[3]{{{{\left( {{\rm{ax}} + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{{{\left( {{\rm{ax}} - 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{{{\rm{a}}^2}{{\rm{x}}^2} - 1}} = 1$
Dùng hai ẩn phụ $u = \sqrt[3]{{{\rm{ax}} + 1}}$ và $v = \sqrt[3]{{{\rm{ax - }}1}}$ ta được hệ sau
$\left\{ \begin{array}{l}
{u^2} + {v^2} + uv = 1\\
{u^3} - {v^3} = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u^2} + {v^2} + uv = 1\\
u - v = 2
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
u = 1\\
v = - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow {\rm{ax}} = 0$
Và cũng có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $a \ne 0$

Kết quả: $a \ne 0$, $b = 0$ hoặc $b = 1$

Bài 105000

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105000

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan