Bài 104986

Question

Giải phương trình: $x^3+\sqrt{(1-x^2)^3}=x\sqrt{2(1-x^2)} $

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/21/2012 10:22:55 AM

Điều kiện của nghiệm : $\left| x \right| \le 1$. Với điều kiện đó ta đặt $x = \cos t,0 \le t \le \pi ,\sin t \ge 0$.
Khi đó phương trình đã cho trở thành
    $c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}t + {\sin ^3}t = \sqrt 2 \cos t\sin t$
    $ \Leftrightarrow \left( {\cos t + \sin t} \right)\left( {{{\cos }^2}t + {{\sin }^2}t - \cos t\sin t} \right) = \sqrt 2 \sin t\cos t$            $(1)$
Đặt $u = \cos t + \sin t,{\rm{   - 1 }} \le {\rm{ u }} \le \sqrt 2 $ ( do $\sin t \ge 0$), khi đó ( 1) trở thành
    $u\left( {1 - \frac{{{u^2} - 1}}{2}} \right) = \sqrt 2 \frac{{{u^2} - 1}}{2} \Leftrightarrow {u^3} + \sqrt 2 {u^2} - 3u - \sqrt 2 = 0$            $(2)$
Dễ nhận thấy rằng $u = \sqrt 2 $ là một nghiệm của $(2)$
Từ đó $(2) \Leftrightarrow \left( {u - \sqrt 2 } \right)\left( {{u^2} + 2\sqrt 2 u + 1} \right) = 0$
                   $ \Leftrightarrow \left( {u - \sqrt 2 } \right)\left( {u + \sqrt 2 - 1} \right)\left( {u + \sqrt 2 + 1} \right) = 0$

a) $\sqrt 2 = u = \cos t + \sin t = \sqrt 2 c{\rm{os}}\left( {t - \frac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow t = \frac{\pi }{4} $
    $\Rightarrow x = \cos t = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

b) $1 - \sqrt 2 = u = \cos t + \sin t \Rightarrow x + \sqrt {1 - {x^2}} = 1 - \sqrt 2 $
       $ \Leftrightarrow \sqrt {1 - {x^2}} = 1 - \sqrt {2 - x} \Rightarrow 1 - {x^2} = {\left( {1 - \sqrt 2 - x} \right)^2}$
    $\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \sqrt {1 - {x^2}} = 1 - \sqrt {2 - x} \Rightarrow 1 = {x^2} = {\left( {1 - \sqrt 2 - x} \right)^2}\\
\Leftrightarrow {x^2} - \left( {1 - \sqrt 2 } \right)x + \left( {1 - \sqrt 2 } \right) = 0
\end{array}$
       $ \Leftrightarrow x = \frac{{1 - \sqrt 2 - \sqrt {2\sqrt 2 - 1} }}{2} < - 1$    (loại)
$\Rightarrow x = \frac{{1 - \sqrt 2 + \sqrt {2\sqrt 2 - 1} }}{2} < - 1$

c) $u = - 1 - \sqrt 2 < - 1$      (loại)

Đáp số : $x = \frac{{\sqrt 2 }}{2},x = \left( {1 - \sqrt 2 + \sqrt {2\sqrt 2 - 1} } \right)/2$

Bài 104986

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104986

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan