Bài 104980

Question

Cho phương trình: $\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}-\sqrt{(3+x)(6-x)}=m $
a) Giải phương trình với $m = 3$
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/21/2012 10:08:21 AM

Điều kiện của nghiệm : $ - 3 \le x \le 6$
Đặt $u = \sqrt {3 + x} ,v = \sqrt {6 - x} $, phương trình đã cho tương đương với hệ:
    $\left\{ \begin{array}{l}
{u^2} + {v^2} = 0\\
u + v - uv = m\\
0 \le u,v \le 3
\end{array} \right.$                $(1)$
a) Với $m = 3$, đặt $S = u + v \ge 0,P = uv \ge 0$, hệ $(1)$ có dạng
    $\left\{ \begin{array}{l}
{S^2} - 2P = 9\\
S - P = 3
\end{array} \right. \Rightarrow {S^2} - 2{\rm{S}} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
S = - 1       {\rm{ : loại}}\\
S = 3
\end{array} \right.$
Với $S = 3$ thì $P = 0$ giải ra ta được
    $\left\{ \begin{array}{l}
u = 3\\
v = 0
\end{array} \right. \Rightarrow x = 6;{\rm{   }}\left\{ \begin{array}{l}
u = 0\\
v = 3
\end{array} \right. \Rightarrow x = - 3$

Đáp số : $x = - 3,x = 0$

b) Ta đặt $u = 3\cos t,v = 3\sin t,t \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$
    Ta có $3\left( {\cos t + \sin t} \right) - \cos t\sin t = m,t \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$        $(2)$
Lại đặt $z = \cos t + \sin t,            1 \le z \le \sqrt 2 $, ta có
    $\cos t\sin t = \frac{{\left( {\cos t + \sin t} \right) - 1}}{2} = \frac{{{t^2} - 1}}{2}$
Khi đó $(2)$ trở thành
    $f\left( z \right) = 9{{\rm{z}}^2} - 6{\rm{z}} - \left( {9 - 2m} \right) = 0;       {\rm{   1}} \le {\rm{z}} \le \sqrt 2 $        $(3)$
Hoành độ đỉnh của $f\left( z \right)$ là ${z_0} = \frac{6}{{2.9}} = \frac{1}{3} < 1$ nên để $(3)$ có nghiệm cần và đủ là
$f\left( 1 \right)f\left( {\sqrt 2 } \right) \le 0 \Leftrightarrow \left( {2m - 6} \right)\left[ {2m - \left( { - 9 + 6\sqrt 2 } \right)} \right] \le 0$
$ \Leftrightarrow \left( {\frac{{ - 9 + 6\sqrt 2 }}{2}} \right) \le m \le 3$

Chú ý: Có thể đặt $t = \sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} $ với $t \in \left[ {3;3\sqrt 2 } \right]$ để dẫn tới xét $f\left( t \right) = t - \frac{{{t^2} - 9}}{2}$ trên $t \in \left[ {3;3\sqrt 2 } \right]$

Bài 104980

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104980

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan