Bài 104768

Question

Cho phương trình:
$\frac{{m\sin x - 2}}{{m - 2\cos x}} = \frac{{m\cos x - 2}}{{m - 2\sin x}}$
$1$. Giải phương trình khi $m = 1.$
$2$. Khi $m \ne 0;\,\,m \ne \pm \sqrt 2$, phương trình trên có bao nhiêu nghiệm nằm trong đoạn $20\pi \le x \le 30\pi ?$

score 0 · Answer 1

$1)$ Khi $m = 1$ phương trình trở thành:
$\begin{array}{l}
\frac{{\sin x - 2}}{{1 - 2\cos x}} = \frac{{\cos x - 2}}{{1 - 2\sin x}}\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\cos x \ne \frac{1}{2};{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \ne \frac{1}{2}\\
({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - \cos x)\left[ {5 - 2({\mathop{\rm s}\nolimits}
{\rm{inx}} + \cos x)} \right] = 0
\end{array} \right.
\end{array}$
Do $|{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x| \le \sqrt 2 $ nên pt $sinx + cosx = 5/2$ vô nghiệm. Vậy ta được phương trình: $sinx = cosx$ $\Leftrightarrow\tan x=1$và nghiệm của nó là $x = \frac{\pi }{4} + k\pi $
$2)$ Khi $m \ne 0;m \ne \pm \sqrt 2 $, pt tương đương với:
$\left\{ \begin{array}{l}
m - 2\cos x \ne 0;m - 2\sin x \ne 0\,\,\,(**)\\
({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - \cos x)\left[ {({m^2} + 4) - 2m({\mathop{\rm
s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x)} \right] = 0
\end{array} \right.$
Vì $\frac{{{m^2} + 4}}{{|2m|}} \ge \frac{{2.2|m|}}{{2|m|}} = 2$ nên pt: ${m^2} + 4 -
2m({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x) = 0$ vô nghiệm.
Ta được phương trình $sinx – cosx = 0$ có nghiệm là:
$x = \frac{\pi }{4} + k\pi $. Nghiệm này thỏa mãn điều kiện $(**)$ bởi vì $m \ne \pm \sqrt 2 $
Nghiệm $x = \frac{\pi }{4} + k\pi $ nằm trong đoạn ${\rm{[}}20\pi ;30\pi {\rm{]}} $$
\Leftrightarrow 20\pi \le \frac{\pi }{4} + k\pi \le 30\pi\Leftrightarrow 20\leq k\leq 29 $
Vậy trên đoạn ${\rm{[}}20\pi ;30\pi {\rm{]}}$ pt có $10$ nghiệm.

Bài 104768

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104768

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan