Bài 104663

Question

Cho hệ bất phương trình
$\begin{cases}x^{2}-2x-a \leq 0 (1)\\x^{2}+4x+6a \leq 0(1)\end{cases} $
a. Định a để hệ có nghiệm
b. Định a để hệ có nghiệm duy nhất

score 0 · Answer 1

a/ Vế trái của $(1) $có $\Delta'_{1}=1+a$
vế trái của $(2) $ có $\Delta'_{2}=4-6a$
để hệ có nghiệm, trước hết phải có
$ \begin{cases} \Delta '_{1}\geq 0 \\ \Delta'_{2}\geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow -1 \leq a\leq-\frac{2}{3}(*)$
Lúc đó tam thức ở vế trái của $(1)$ có hai nghiệm:
$x_{1}=1- \sqrt{ 1+a}, x_{2}=1+ \sqrt{ 1+a}$
tam thức ở vế trái của $(2)$ có $x_{3}=-2- \sqrt{ 4-6a}; x_{4}=-2+ \sqrt{ 4-6a}$
Rõ ràng $x_{1}<x_{2}$ và $ x_{3}<x_{4}$
Để hệ có nghiệm thì
$\left[ \begin{array}{l} x_{2}>x_{3}\\x_{4}>x_{1}\\ \begin{cases} x_{3}>x_{1}\\x_{2}>x_{4} \end{cases} \\ \begin{cases}x_{1}>x_{3}\\ x_{2}<x_{4} \end{cases} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 1+ \sqrt{ 1+a}> -2- \sqrt{ 4-6a}(1)\\ -2+ \sqrt{ 4-6a}> 1- \sqrt{ 1+a}(2)\\ \begin{cases} -2- \sqrt{ 4-6a}> 1- \sqrt{ 1+a} \\ 1+ \sqrt{ 1+a} >-2+ \sqrt{ 4-6a}\end{cases}(3) \\ \begin{cases}1- \sqrt{ 1+a}>-2- \sqrt{ 4-6a} \\ 1+ \sqrt{ 1+a}<-2+ \sqrt{ 4-6a}\end{cases} (4)\end{array} \right. $
$(1) $luôn đúng $ \forall a \in [-1; -\frac{2}{3}$
$(2) \Leftrightarrow \sqrt{ 4-6a}>3- \sqrt{ 1+a}$
+/ Nếu $3- \sqrt{ 1+a}<0 \Leftrightarrow a>8$ không thỏa (*)
+/ Nếu $3- \sqrt{ 1+a}>0 \Leftrightarrow a<8 \Rightarrow 4-6a>9+1+a- 6 \sqrt{ 1+a}$
$\Leftrightarrow 6 \sqrt{ 1+a}>7a+6(i)$
+/ Nếu $-1 \leq a\leq -\frac{6}{7}(i) $đúng
+/ Nếu $ -\frac{6}{7}<a\leq -\frac{2}{3} $bình phương hai vế được
$36+36a>49a^{2}+84a+36 \Leftrightarrow 49a^{2}+48a<0 \Leftrightarrow \frac{-48}{49}<a<0 $giao với $-\frac{6}{7}<a \leq -\frac{2}{3}$ được $-\frac{6}{7}<a\leq -\frac{2}{3}$
$(3): \begin{cases}-2- \sqrt{ 4-6a}>1- \sqrt{ 1+a} \\ 1+ \sqrt{ 1+a}> -2+ \sqrt{ 4-6a} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{ 1+a}- \sqrt{ 4-6a}>3 \\ \sqrt{ 1+a}- \sqrt{ 4-6a}>-3 \end{cases} $
$\Leftrightarrow \sqrt{ 1+a}>3+ \sqrt{ 4-6a} \Leftrightarrow 1+a>9+6 \sqrt{ 4-6a}+4-6a \Leftrightarrow 7a-12> 6 \sqrt{ 4-6a} $không thỏa (*)
$(4): \begin{cases} 1- \sqrt{ 1+a} > -2- \sqrt{ 4-6a}\\ 1+\sqrt{ 1+a} <-2+ \sqrt{ 4-6a}\end{cases} \Leftrightarrow $ đúng với(*)
Các giá trị của a thỏa yêu cầu bài toán $-1 \leq a \leq -\frac{2}{3}$
b/ Để hệ có nghiệm duy nhất thì:
$\left[ \begin{array}{l} x_{2}=x_{3}\\ x_{1}=x_{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 1+\sqrt{ 1+a} = -2- \sqrt{ 4-6a} \\ 1-\sqrt{ 1+a} <-2+ \sqrt{ 4-6a} \end{array} \right. \Leftrightarrow \begin{cases} VN \\ 3- \sqrt{ 1+a}= \sqrt{ 4-6a} \end{cases} $
$3- \sqrt{ 1+a}= \sqrt{ 4-6a} $với (*), hai vế đều dương, bình phương hai vế:
$9-6 \sqrt{ 1+a}+1+a=4-6a \Leftrightarrow 7a+6=6 \sqrt{ 1+a}$
$\Leftrightarrow 49a^{2}+84a+36=36+36a \Leftrightarrow 49a^{2}+48a=0 \Leftrightarrow a=0$hay $a=-\frac{48}{49}$ giá trị này thỏa điều kiện $-1 \leq a \leq -\frac{2}{3}$

Bài 104663

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104663

1 Đáp án

Liên quan

Giải hệ bất phương trình

Lý thuyết liên quan