Bài 104506

Question

Tính tích phân $I=\int\limits_{1}^{3}\frac{3+lnx}{(x+1)^2}dx$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/17/2012 10:00:28 AM

$\begin{array}{l}
I = \int\limits_1^3 {\frac{{3 + \ln x}}{{{{(x + 1)}^2}}}dx} = 3\int\limits_1^3 {\frac{{dx}}{{{{(x + 1)}^2}}} + \int\limits_1^3 {\frac{{\ln x}}{{{{(x + 1)}^2}}}dx} } \\
{I_1} = 3\int\limits_1^3 {\frac{{dx}}{{{{(x + 1)}^2}}}} = \left. {\frac{{ - 3}}{{(x + 1)}}\,} \right|_1^3 = \frac{3}{4}\\
{I_2} = \int\limits_1^3 {\frac{{\ln x}}{{{{(x + 1)}^2}}}dx}
\end{array}$
Đặt $u=lnx\Rightarrow $$du = \frac{{dx}}{x};$$dv = \frac{{dx}}{{{{(x + 1)}^2}}}.$ Chọn $v = \frac{{ - 1}}{{x + 1}}$
Áp dụng công thức tích phân từng phần dạng $\int\limits_{a}^{b} udv = uv |_a^b - \int\limits_{a}^{b} vdu$, ta có :
${I_2} = \left. { - \frac{{\ln x}}{{x + 1}}} \right|_1^3 + \int\limits_1^3 {\frac{{dx}}{{x(x + 1)}}} = - \frac{{\ln 3}}{4} + \int\limits_1^3 {\frac{{dx}}{x}} - \int\limits_1^3 {\frac{{dx}}{{x + 1}} = - \frac{{\ln 3}}{4} + \ln|\frac{x}{x+1}| |_1^3= - \frac{{\ln 3}}{4} + \ln \frac{3}{2}} $
Vậy $I = \frac{3}{4}(1 + \ln 3) - \ln 2$

Bài 104506

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104506

1 Đáp án

Liên quan

Tích phân từng phần

Lý thuyết liên quan