Bài 104396

Question

Chứng minh rằng với m tùy ý tồn tại một tam giác có ba cạnh là $\sqrt{m^2-m+1}; \sqrt{m^2+m+1}
; \sqrt{4m^2+3}$ và diện tích của tam giác này không phụ thuộc vào m

score 0 · Answer 1

Ta có: $4m^2+3>m^2+m+1 \Leftrightarrow 3m^2-m+2>0 \forall m$ nên ta có:
$\sqrt{4m^2+3}> \sqrt{m^2+m+1}>\sqrt{m^2-m+1} $
Do vậy để chứng minh 3 số trên tạo thành một tam giác ta chỉ cần chứng minh:
$\sqrt{4m^2+3}<\sqrt{m^2-m+1}+\sqrt{m^2+m+1}$
$\Leftrightarrow 4m^2+3<2m^2+2+2 \sqrt{m^4+m^2+1} $
$\Leftrightarrow 2m^2+1<2\sqrt{m^4+m^2+1}$
$\Leftrightarrow 4m^4+4m^2+1<4m^4+4m^2+4$ (lđ)
Do vậy 3 số trên tạo thành một tam giác.
Áp dụng định lí hàm số Cô-sin của góc lớn nhất ta được:
$\cos \varphi = \frac{-2m^2-1}{2 \sqrt{m^2-m+1}.\sqrt{m^2+m+1} }= -\frac{2m^2+1}{2 \sqrt{m^4+m^2+1} } $
$\Rightarrow \sin \varphi =\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{m^4+m^2+1}} $
Vậy diện tích tam giác:
$S=\frac{1}{2}\sqrt{m^2-m+1}
.\sqrt{m^2+m+1}\sin \varphi =\frac{\sqrt{3}}{4}$

Bài 104396

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104396

1 Đáp án

Liên quan

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Lý thuyết liên quan