Bài 104388

Question

Với những giá trị nào của $m$ thì hệ bất phương trình sau có nghiệm: $\begin{cases}x^2-2x+1-m \leq 0 \\ x^2-(2m+1)x+m^2+m \leq 0\end{cases}$

score 0 · Answer 1

Giải
Ta thấy phương trình: $x^2-(2m+1)x+m^2+m=0$ (*)
có $\Delta=(2m+1)^2-4(m^2+m)=4m^2+4m+1-4m^2-4m=1>0$
Nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm: $\left[ \begin{array}{l}x = m\\x = m+1\end{array} \right.$
Do đó: $x^2-(2m+1)x+m^2+m \leq 0 \Leftrightarrow m \leq x \leq m+1$
Từ đó ta thấy hệ đã cho sẽ vô nghiệm khi:
$x^2-2x+1-m>0 \forall x\in [m;m+1]$ (**)
Ta có: $\Delta'=1+m-1=m$
* $\Delta'<0 \Leftrightarrow m<0$
Khi đó (**) luôn thỏa mãn hay hệ đã cho vô nghiệm.
* $\Delta' \geq 0 \Leftrightarrow m \geq 0$. Khi đó (**) tương đương:
$\Leftrightarrow \begin{cases}m \geq 0 \\ m+1< x_1=1-\sqrt{m} \end{cases}$ hoặc $\begin{cases}m \geq 0 \\ x_2=1+ \sqrt{m} <m \end{cases}$
$\begin{cases}m \geq 0 \\ m< -\sqrt{m} \end{cases}$ hoặc $\begin{cases}m \geq 0 \\ \sqrt{m} < m-1\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}m \geq 0 \\ m<(m-1)^2 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}m \geq 0 \\ m<m^2-2m+1 \end{cases} \Leftrightarrow m> \frac{3+\sqrt{5}}{2}$
Vậy hệ bất phương trình đã cho vô nghiệm khi $\left[ \begin{array}{l}m <0\\ m> \frac{3+\sqrt{5}}{2}\end{array} \right.$
Vậy hệ đã cho sẽ có nghiệm khi: $0 \leq m \leq \frac{3+\sqrt{5}}{2}$

Bài 104388

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104388

1 Đáp án

Liên quan

Giải hệ bất phương trình

Lý thuyết liên quan