Số tập con gồm
7 phần tử của tập $A$ là $C^7_n$ và số tập con gồm 3 phần tử của tập $A: C^3_n$
Ta có:
$C^7_n=2.C^3_n
\Leftrightarrow \frac{n!}{7!(n-7)!}=2\frac{n!}{3!(n-3)!} \Leftrightarrow (n-6)(n-5)(n-4)(n-3)=1680$
$\Leftrightarrow
(n-6)(n-5)(n-4)(n-3)=1680$
$\Leftrightarrow
(n^2-9n+18)(n^2-9n+20)=1680$
Đặt
$t=n^2-9n+18$
Suy ra: $t(t+2)=1680
\Leftrightarrow t^2-2t-1680=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 40\\t = -42\end{array} \right.$
* Khi: $t=n^2-9n+18=40
\Leftrightarrow n^2-9n-22=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 11\\n = -2\end{array} \right.\Rightarrow n=11$
* Khi:
$t=n^2-9n+18=-42 \Leftrightarrow n^2-9n+60=0 \Leftrightarrow n \in \varnothing$
* Kết luận:
$n=11$.