Bài 104129

Question

Tính các biểu thức:
$A = cos\frac{{\pi }}{{7}}{cos}\frac{{{2\pi
}}}{{7}}{cos}\frac{{{4\pi }}}{{7}}$
$B = asin2(\alpha + \beta )+ bsin(\alpha + \beta )cos(\alpha + \beta )+ccos2(\alpha + \beta $)
Biết $tan\alpha $, $tan\beta $ là các nghiệm của phương trình:
$ax^2 +bx + c = 0 $
$b$) Giải phương trình: $\frac{{{1 + 2si}{{n}^{2}}{x - 3}\sqrt {2} {sinx + sin2x}}}{{{2sinxcosx - 1}}}{ = 1}$

score 0 · Answer 1

$a$) Ta có:
$A.sin\frac{\pi }{7}$= $sin\frac{\pi }{7}$cos$\frac{{\pi
}}{{7}}{cos}\frac{{{2\pi }}}{{7}}{cos}\frac{{{4\pi
}}}{{7}}$ $(sinacosa = \frac{1}{2}sin2a)$
= $\frac{1}{2}$${sin}\frac{{{2\pi }}}{{7}}$
${cos}\frac{{{2\pi }}}{{7}}{cos}\frac{{{4\pi
}}}{{7}}$=$\frac{1}{4}$${sin}\frac{{{4\pi
}}}{{7}}{cos}\frac{{{4\pi
}}}{{7}}$=$\frac{1}{8}$${sin}\frac{{{8\pi }}}{{7}}$
= $\frac{1}{8}$${sin}\left( {{ - }\frac{{\pi }}{{7}}}
\right)$ (vì $\frac{{{8\pi }}}{{7}}{ + }\left( {{ - }\frac{{\pi
}}{{7}}} \right){ = \pi )}$
= $\frac{1}{8}$$\sin \left( {\frac{\pi }{7}} \right)$ $ \Rightarrow {A = -
}\frac{{1}}{{8}}$
Ta có: $B =cos^2(\alpha + \beta )[ atg^2(\alpha + \beta )+ btg(\alpha + \beta )+c ]$
Mà tg$\alpha $ và tg$\beta$ là nghiệm của phương trình: $ax^2 + bx + c = 0$
(định lý Vie’te)
Mà tg ($\alpha + \beta $)= $\frac{{{tg\alpha + tg\beta }}}{{{1 - tg\alpha }{.tg\beta }}}{ = }\frac{{{ - }\frac{{b}}{{a}}}}{{{1 - }\frac{{c}}{{a}}}}{ = }\frac{{b}}{{{c - a}}}$
$ \Rightarrow {B = }{\kern 1pt} \frac{{{{{(c -
a)}}^{2}}}}{{{{a}^{2}}{ + }{{b}^{2}}{ +
}{{c}^{2}}{ - 2ac}}}\left[ {{a}{{\left( {\frac{{b}}{{{c -
a}}}} \right)}^{2}}{ + b}{{\left( {\frac{{b}}{{{c - a}}}}
\right)}^{2}}{ + c}} \right]$
= $\frac{{{c(}{{a}^{2}}{ + }{{b}^{2}}{ +
}{{c}^{2}}{ - 2ac)}}}{{{{a}^{2}}{ +
}{{b}^{2}}{ + }{{c}^{2}}{ - 2ac}}}{ = c}$
$b) \frac{{{1 + 2si}{{n}^{2}}{x - 3}\sqrt {2} {sinx +
sin2x}}}{{{2sinxcosx - 1}}}{ = 1}     (*)$
Điều kiện: $2sinxcosx – 1 \neq 0$ $ \Leftrightarrow sin2x \neq 1$
$ \Leftrightarrow 2x \neq \frac{{\pi
}}{{2}}{ + k2\pi }\Leftrightarrow x \neq \frac{{\pi }}{{4}}{ + k\pi }$ (${k} \in {z)}$
$(*) \Leftrightarrow {1 + 2si}{{n}^{2}}{x - 3}\sqrt {2}
{sinx + sin2x = - 1 + sin2x}$
    $ \Leftrightarrow {2si}{{n}^{2}}{x - 3}\sqrt {2}
{sinx + 2 = 0} (**)$
Đặt: $t = sinx ( - 1 \le t \le 1)$
$(**) \Leftrightarrow {2}{{t}^{2}}{ - 3}\sqrt {2} {t + 2 =
0}$
        $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{t = }\frac{{\sqrt {2} }}{{2}}\\
{t = }\sqrt {{2 > 1}} {\rm{   (}}loại)
\end{array} \right.{\rm{ }}$
Với $t = {t = }\frac{{\sqrt {2} }}{{2}}$$ \Leftrightarrow {sinx =
}\frac{{\sqrt {2} }}{{2}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x = }\frac{{\pi }}{{4}}{ + k2\pi }\\
{x = \pi - }\frac{{\pi }}{{4}}{ + k2\pi }
\end{array} \right.{   (k} \in {z)}$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x = }\frac{{\pi }}{{4}}{ + k2\pi     }(loại)\\
{x = }\frac{{{3\pi }}}{{4}}{ + k2\pi   }(nhận{)}
\end{array} \right.$

Bài 104129

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104129

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan