Bài 104096

Question

Giải phương trình: $ \cos x-3\sqrt{3}\sin x=\cos 7x$

score 0 · Answer 1

PT   $ \Leftrightarrow \cos x-\cos 7x-3\sqrt{3}\sin x=0$
       $\Leftrightarrow 2\sin 4x.\sin 3x-3\sqrt{3}\sin x=0$
        $\Leftrightarrow 2\sin 4x.\sin x(3-4\sin^2 x)-3\sqrt{3}\sin x=0$
   $\Leftrightarrow 2\sin 4x.\sin x[3-2(1-\cos2x)]-3\sqrt{3}\sin x=0$
       $\Leftrightarrow \sin x[2\sin 4x(1+2\cos 2x)-3\sqrt{3}]=0$
       $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0         (1)\\ \sin 4x(1+2\cos 2x)= \frac{3\sqrt{3}}{2}   (2)\end{array} \right.$
* $(1) \Leftrightarrow   x=k\pi, k \in Z$
* $(2) \Leftrightarrow \sin 4x+4\sin 2x.\cos^2 2x= \frac{3\sqrt{3}}{2}            (3)$
Theo BĐT Cauchy :
$ 1= \sin^2 2x+\frac{\cos^2 2x}{2}+\frac{\cos^2 2x}{2} \geq 3\sqrt[3]{\frac{\sin^2 2x.\cos^4 2x}{4}} ,    \forall x \in R$
$\Rightarrow \frac{4}{27} \geq \sin^2 2x.\cos^4 2x ,    \forall x \in R$
$\Rightarrow \sin 2x.\cos^2 2x \leq \frac{2}{3\sqrt{3}}, \forall x \in R$
$\Rightarrow \sin 4x+4\sin 2x.\cos^2 2x \leq1+\frac{8}{3\sqrt{3}} < \frac{3\sqrt{3}}{2} ,    \forall x \in R$
$ \Rightarrow     (3)$ vô nghiệm        $\Rightarrow      (2) $ vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=k\pi , k\in Z$

Bài 104096

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104096

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan