Bài 103957

Question

Cho hai hàm $f, g$ thỏa :
$ f(x + y) = f(x)g(y) + g(x)f(y)    (*)$
$g(x + y) = g(x)g(y) – f(x)f(y)    (**)$
    trong đó $f$ là hàm lẻ, $f(0) = 0, f(x) \neq 0 khi x \neq 0$
$a)$    Chứng minh rằng : $g$ là hàm chẵn và $g(0) = 1$
$b)$    Chứng minh rằng : $f^2(x) + g^2(x) = 1$
                                        $f(3x) = 3f(x) – 4f^3(x)$
                                        $g(3x) = 4g^3(x) – 3g(x)$

score 0 · Answer 1

$a)$ Trong $(*)$, cho $y = -x \Rightarrow f(0) = f(x)g(-x) + g(x)f(-x)
\Rightarrow f(x)[g(-x) – g(x)] = 0     (1)$
•   $ x = 0    \Rightarrow g(-0) = g(0)$
•    $x \neq 0$ ta có $f(x) \neq 0$
$(1)    \Rightarrow g(-x) g(x) : g$ chẵn.
$(1)   $ Xét $x \neq y = 0$
$\Rightarrow f(x) = f(x).g(0)    (f(0) = 0)$
$\Rightarrow f(x) [1 – g(0)] = 0,$ vì $f(x) \neq 0 \Rightarrow g(0) = 1$
$b$) Trong phương trình ($**$), cho $y = -x \Rightarrow 1 = g^2(x) +f2(x)
f(3x) = f(x + 2x) = f(x).f(2x) + g(x).f(2x)$ theo $(*)$
với     $f(2x) = f(x + x) = f(x).g(x) + g(x).f(x)g(2x) = g(x + x) = g^2(x) – f2(x)$
$\Rightarrow    f(3x) = 3f(x) – 4f^3(x)$
Tương tự :
    $g(3x) = g(x + 2x) = g(x).g(2x) – f(x).f(2x) = 4g3(x) – 3g(x)$

Bài 103957

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103957

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan