Bài 103957

Question

Cho hai hàm

$f, g$ thỏa :

$f(x + y) = f(x)g(y) + g(x)f(y) (*)$

$g(x + y) = g(x)g(y) – f(x)f(y) (**)$
trong đó

$f$ là hàm lẻ,

$f(0) = 0, f(x) \neq 0 khi x \neq 0$

$a)$ Chứng minh rằng :

$g$ là hàm chẵn và

$g(0) = 1$

$b)$ Chứng minh rằng :

$f^2(x) + g^2(x) = 1$

$f(3x) = 3f(x) – 4f^3(x)$

$g(3x) = 4g^3(x) – 3g(x)$

score 0 · Answer 1

$a)$ Trong

$(*)$ , cho

$y = -x \Rightarrow f(0) = f(x)g(-x) + g(x)f(-x) \Rightarrow f(x)[g(-x) – g(x)] = 0 (1)$
•

$x = 0 \Rightarrow g(-0) = g(0)$
•

$x \neq 0$ ta có

$f(x) \neq 0$

$(1) \Rightarrow g(-x) g(x) : g$ chẵn.

$(1)$ Xét

$x \neq y = 0$

$\Rightarrow f(x) = f(x).g(0) (f(0) = 0)$

$\Rightarrow f(x) [1 – g(0)] = 0,$ vì

$f(x) \neq 0 \Rightarrow g(0) = 1$

$b$ ) Trong phương trình (

$**$ ), cho

$y = -x \Rightarrow 1 = g^2(x) +f2(x) f(3x) = f(x + 2x) = f(x).f(2x) + g(x).f(2x)$ theo

$(*)$
với

$f(2x) = f(x + x) = f(x).g(x) + g(x).f(x)g(2x) = g(x + x) = g^2(x) – f2(x)$

$\Rightarrow f(3x) = 3f(x) – 4f^3(x)$
Tương tự :

$g(3x) = g(x + 2x) = g(x).g(2x) – f(x).f(2x) = 4g3(x) – 3g(x)$

1 Đáp án