Bài 103682

Question

Xét tính đơn điệu và bị chặn của mỗi dãy số $(u_{n})$ dưới đây:
a) $u_{n}=(-1)^{n}+\sin n\frac{\pi}{4}$
b) $u_{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}$
c) $\begin{cases}u_{1}=\sqrt{2} \\ u_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}} \forall n\in N* \end{cases}$

score 0 · Answer 1

a)
- Ta có $u_0=1 ; u_1=\frac{1}{\sqrt2}-1 ; u_2=2.$
Do $u_0>u_1 mà u_1<u_2$ nên dãy đã cho không đơn điệu.
- Ta có $\left\{ \begin{array}{l}-1\leq (-1)^n\leq 1 \\-1\leq \sin n\frac{\pi}{4}\leq 1\end{array} \right.\forall n\in N\Leftrightarrow -2<u_n\leq 2 \forall n\in N$.

b)
-Ta có: $u_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}<\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}=u_{n+1} $
$\Rightarrow$ dãy tăng.
-Ta có: $0<u_{n} \forall n$.
Lại có $u_n= \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}< \frac{n}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n} $
$\Leftrightarrow u_n<(1-\frac{1}{n+1})+(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{(n+1)(n+2)})+...+(\frac{1}{\prod_{i=1}^{n-1}\frac{1}{n+i}}-\frac{1}{\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{n+i}}) $
$\Leftrightarrow u_n<1- \frac{1}{\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{n+i}} <1, \forall n$
Vậy $0<u_n<1, \forall n.$

c)
- Ta có $2>u_n>0$.
Giả sử $2>u_n>0$(1) ta cần chứng minh $2>u_{n+1}>0\forall n\in N^*.$
Thật vậy $(1)\Leftrightarrow 2>\sqrt{u_n+2}>0$. Suy ra điều phải chứng minh.
- Ta có: $u_{n+1}-u_n=\sqrt{2+u_n}-u_n=\frac{2+u_n-u_n^2}{ \sqrt{2+u_n}+u_n }=\frac{(2-u_n)(1+u_n)}{ \sqrt{2+u_n}+u_n }>0\forall n\in N^*$
(Do $u_n<2\forall n\in N^*)$
Vậy dãy tăng, $0<u_{n}<2$

Bài 103682

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103682

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan