Bài 103332

Question

Tìm \(m\) để hệ bất phương trình sau đây vô nghiệm:
a) \(\begin{cases}5x+m<-x+2 \\ x+3m-2<2x-m \end{cases}\) b) \(\begin{cases}mx+1>x-1 \\ 2x+3\leq 0 \end{cases}
\)

score 0 · Answer 1

Giải
a) Ta có: \(\begin{cases}5x+m<-x+2 \\ x+3m-2<2x-m \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x<\frac{2-m}{6}        (1)\\ x>4m-2    (2)\end{cases}\)
Các tạp nghiệm của bất phương trình \((1)\) và \((2)\) lần lượt là:
    \(T_1=(-\infty ;\frac{2-m}{6})\) và \(T_2=(4m-2;+\infty )\)
Hệ bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi: \(T_1\cap T_2=\varnothing \)
hay \(\frac{2-m}{6}\leq 4m-2 \Leftrightarrow 2-m\leq 24m-12 \Leftrightarrow m\geq \frac{14}{25}\)
b) Ta có: \(2x+3\leq 0 \Leftrightarrow x\leq -\frac{3}{2}\)
Vậy bất phương trình thứ hai có tạp nghiệm \(T=(-\infty ;-\frac{3}{2}]\)
Xét bất phương trình thứ nhất : \(mx+1>x-1 \Leftrightarrow (m-1)x>-2\)
* \(m>1\): Ta có \(x>\frac{-2}{m-1}\). Hệ vô nghiệm khi
    \(\frac{-2}{m-1}\geq \frac{-3}{2} \Leftrightarrow -4\geq -3m+3 \Leftrightarrow m\geq \frac{7}{3}\) ( thỏa mãn).
* \(m<1\): Ta co \(x<\frac{-2}{m-1}\). Nhận xét rằng hai khoảng \((-\infty ;-\frac{3}{2})\) và \((-\infty ;\frac{-2}{m-1})\) luôn có giao khác rỗng nên hệ luôn có nghiệm với mọi \(m<1\).
* \(m=1\): Ta có \(0x>-2\)
Bất phương trình này có tập nghiệm \(R\). Do đó hệ có nghiệm.
Vậy bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(m\geq \frac{7}{3}\)

Bài 103332

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103332

1 Đáp án

Liên quan

Giải hệ bất phương trình

Lý thuyết liên quan