Bài 103135

Question

Cho hệ: \(\begin{cases}x^2-4xy+y^2=k \\ y^2-3xy=4 \end{cases}\)
a) Giải hệ với \(k=1\)
b) Chứng minh rằng hệ có nghiệm với mọi \(k\).

score 0 · Answer 1

Giải
a) Với \(k=1\) hệ trở thành: \(\begin{cases}x^2-4xy+y^2=1 (3) \\ y^2-3xy=4 (4)\end{cases}\)
Dễ thấy \(y\neq0\). Từ \((4)\) suy ra \(x=\frac{y^2-4}{3y}\). Thay vào \((3)\) ta được:
\(\frac{(y^2-4)^2}{9y^2}-4.\frac{(y^2-4)y}{3y}+y^2=1 \Leftrightarrow 2y^4-31y^2-16=0\)
Phương trình trùng phương này có nghiệm \(y^2=16\), nên \(y=\pm4\)
Với \(y=4\) ta được \(x=1\); với \(y=-4\) ta được \(x=-1\)
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là \((x;y)=(1;4),(-1;-4)\).

b) Rõ ràng \(y\neq0\). Từ \((2)\) suy ra \(x=\frac{y^2-4}{3y}\). Thay vào \((1)\) ta được:
\(\frac{(y^2-4)^2}{9y^2}-4.\frac{(y^2-4)y}{3y}+y^2=k \Leftrightarrow2y^4-(40-9k)y^2-16=0\).
Phương trình trùng phương \(2y^4-(40-9k)y^2-16=0\) luôn có nghiệm dương với mọi \(k\) ( do phươg trình bậc hai trung gian có hai nghiệm trái dấu). Do đó hệ luôn có nghiệm với mọi \(k\).

Bài 103135

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103135

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan