|
|
Ta có:
$\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sin \frac{x}{2} - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} > 0\\
\sin \frac{x}{2} + \cos 2x = \sin \frac{x}{2} - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \left( 2 \right)
\end{array} \right.\\
\left( 2 \right) \Leftrightarrow \cos 2x = - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - 1 = 0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = 1\\
{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = - \frac{1}{2}
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
x = - \frac{\pi }{6} + h2\pi \\
x = \frac{{7\pi }}{6} + l2\pi
\end{array} \right.\left( {l,h,k \in Z} \right)
\end{array}$
Xét điều kiện: $\sin \frac{x}{2} - \operatorname{s} {\text{inx}} > 0\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$. Ta có:
• Với $\operatorname{s} {\text{inx}} = 1\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi $
$\sin \frac{x}{2} - \operatorname{s} {\text{inx}} = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + k\pi } \right) - 1
\leqslant 0$
Bất đẳng thức ($3$) không thỏa mãn.
• Với $x = - \frac{\pi }{6} + h2\pi $. Ta có: $\sin \frac{x}{2} - \operatorname{s}
{\text{inx}} = \operatorname{s} {\text{in}}\left( { - \frac{\pi }{{12}} + h\pi } \right) +
\frac{1}{2} > 0$
$\left( {{\text{V}}i {\text{ }}:\frac{1}{2} = \sin \frac{\pi }{6} > - \operatorname{s}
{\text{in}}\left( { - \frac{\pi }{{12}} + h\pi } \right)} \right)$. Như vậy, ($3$) thỏa mãn.
• Với $x = \frac{{7\pi }}{6} + l2\pi $:
$\sin \frac{x}{2} - \operatorname{s} {\text{inx}} = \operatorname{s} {\text{in}}\left(
{\frac{{7\pi }}{{12}} + l\pi } \right) + \frac{1}{2}$.
Ta có: $\frac{1}{2} = \sin \frac{\pi }{6} > - \operatorname{s} {\text{in}}\left( {\frac{{7\pi
}}{{12}} + l\pi } \right)$.
Nếu $l$ chẵn và $\frac{1}{2} = \sin \frac{\pi }{6} < - \operatorname{s} {\text{in}}\left(
{\frac{{7\pi }}{{12}} + l\pi } \right)$.
Nếu $l$ lẻ, suy ra với $l = 2n,\,n \in Z$ thì ($3$) thỏa mãn.
Kết luận: phương trình ($1$) có nghiệm là $\left[ \begin{gathered}
x = - \frac{\pi }{6} + h2\pi \\
x = \frac{{7\pi }}{6} + l2\pi\\
\end{gathered} \right.$( trong đó $k,\,n \in Z$).
|