Bài 103069

Question

Giải phương trình :

${\log _{\frac{1}{3}}}\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos 2x} \right) + {\log _3}\left( {\sin \frac{x}{2} - \operatorname{s} {\text{inx}}} \right) = 0 \left( 1 \right)$

score 0 · Answer 1

Ta có:

$\begin{array}{l} \left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sin \frac{x}{2} - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} > 0\\ \sin \frac{x}{2} + \cos 2x = \sin \frac{x}{2} - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \left( 2 \right) \end{array} \right.\\ \left( 2 \right) \Leftrightarrow \cos 2x = - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - 1 = 0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = 1\\ {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = - \frac{1}{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ x = - \frac{\pi }{6} + h2\pi \\ x = \frac{{7\pi }}{6} + l2\pi \end{array} \right.\left( {l,h,k \in Z} \right) \end{array}$
Xét điều kiện:

$\sin \frac{x}{2} - \operatorname{s} {\text{inx}} > 0\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$ . Ta có:
• Với

$\operatorname{s} {\text{inx}} = 1\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi$

$\sin \frac{x}{2} - \operatorname{s} {\text{inx}} = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + k\pi } \right) - 1 \leqslant 0$
Bất đẳng thức (

$3$ ) không thỏa mãn.
• Với

$x = - \frac{\pi }{6} + h2\pi$ . Ta có:

$\sin \frac{x}{2} - \operatorname{s} {\text{inx}} = \operatorname{s} {\text{in}}\left( { - \frac{\pi }{{12}} + h\pi } \right) + \frac{1}{2} > 0$

$\left( {{\text{V}}i {\text{ }}:\frac{1}{2} = \sin \frac{\pi }{6} > - \operatorname{s} {\text{in}}\left( { - \frac{\pi }{{12}} + h\pi } \right)} \right)$ . Như vậy, (

$3$ ) thỏa mãn.
• Với

$x = \frac{{7\pi }}{6} + l2\pi$ :

$\sin \frac{x}{2} - \operatorname{s} {\text{inx}} = \operatorname{s} {\text{in}}\left( {\frac{{7\pi }}{{12}} + l\pi } \right) + \frac{1}{2}$ .
Ta có:

$\frac{1}{2} = \sin \frac{\pi }{6} > - \operatorname{s} {\text{in}}\left( {\frac{{7\pi }}{{12}} + l\pi } \right)$ .
Nếu

$l$ chẵn và

$\frac{1}{2} = \sin \frac{\pi }{6} < - \operatorname{s} {\text{in}}\left( {\frac{{7\pi }}{{12}} + l\pi } \right)$ .
Nếu

$l$ lẻ, suy ra với

$l = 2n,\,n \in Z$ thì (

$3$ ) thỏa mãn.
Kết luận: phương trình (

$1$ ) có nghiệm là

$\left[ \begin{gathered} x = - \frac{\pi }{6} + h2\pi \\ x = \frac{{7\pi }}{6} + l2\pi\\ \end{gathered} \right.$ ( trong đó

$k,\,n \in Z$ ).

Bài 103069

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103069

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan