Bài 103037

Question

Cho hệ phương trình: \(\begin{cases}x+xy+y=2m+1 \\ xy(x+y)=m^2+m \end{cases}\)
Chứng tỏ rằng với mọi giá trị của \(m\) thì hệ phương trình trên luôn có nghiệm. Xác định \(m\) để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất.

score 0 · Answer 1

Giải
Từ hệ phương trình đã cho:
\(\begin{cases}x+xy+y=2m+1 \\ xy(x+y)=m^2+m \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x+y+xy=2m+1 \\ xy(x+y)=m^2+m \end{cases}\) (*)
Đặt \(S=x+y; P=xy\)
Điều kiện: \(S^2-4P\geq 0\). Khi dó hệ (*) tương đương: \(\begin{cases}S+P=2m+1 \\ SP=m^2+m \end{cases}\)
Do đó \(S,P\) là nghiệm của phương trình bậc hai:
\(X^2-(2m+1)X+m^2+m=0\) (**)
\(\Delta=(2m+1)^2-4(m^2+m)=4m^2+4m+1-4m^2-4m=1>0\)
\(\Rightarrow \) Phương trình (**) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\):
\(X=\frac{2m+1+1}{2}=m+1; X=\frac{2m+1-1}{2}=m\)
\(\Rightarrow \begin{cases}x+y=m+1 \\ xy=m \end{cases} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x=m \\ y=1 \end{cases}\\\begin{cases}x=1 \\ y=m \end{cases}\end{array} \right.\)
Vì vậy \(\forall m\) hệ đã cho luôn có nghiệm và nếu hệcoó nghiệm duy nhất thì hai nghiệm đó phải trùng nhau \(m=1\)
* Với \(m=1\) ta có hệ : \(\begin{cases}x+y+xy=3 \\xy(x+y)=2 \end{cases} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x+y=2 \\ xy=1 \end{cases}\\\begin{cases}x+y=1 \\ xy=2 \end{cases} \end{array} \right. \Leftrightarrow x=y=1\)
nên hệ có nghiệm duy nhất
Vậy để hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: \(m=1\).

Bài 103037

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103037

1 Đáp án

Liên quan

Hệ phương trình đối xứng loại I + II và các bài toán liên quan

Lý thuyết liên quan