Bài 103022

Question

Cho hệ phương trình: \(\begin{cases}x=y^2-y+m \\ y=x^2-x+m \end{cases}\)
a) Giải hệ phương trình với \(m=0\)
b) Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm.
c) Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

score 0 · Answer 1

Giải
a) Với \(m=0\) ta có: \(\begin{cases}x=y^2-y \\ y=x^2-x \end{cases}\)
Trừ từng vế ta được: \(x-y=y^2-y-x^2+x \Leftrightarrow x^2-y^2=0 \Leftrightarrow x=\pm y\)
- Trường hợp 1: \(x=y\) thay vào một phương trình của hệ có:
   \(x=x^2-x \Leftrightarrow x^2-2x=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)
   Hệ phương trình có nghiệm \(\begin{cases}x=0 \\ y=0 \end{cases}; \begin{cases}x= 2\\ y=2 \end{cases}\)
- Trường hợp 2: \(x=-y\) thay vào phương trình hệ ta có:
    \( -y=y^2-y \Leftrightarrow y=0\) nên \(x=0\)
   Ta được nghiệm: \(x=y=0\)
   Tóm lại: Hệ phương trình có hai nghiệm \((x;y)\in \left \{ (0;0); (2;2) \right.\left. \right \}\).

b) Trừ từng vế, ta có: \(x=\pm y\). Hệ phương trình đã cho tương đương với:
    \(\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x=y \\ x=y^2-y+m \end{cases}\\\begin{cases}x=-y \\ x=y^2-y+m \end{cases}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x=y \\ x^2-2x+m=0    (1) \end{cases}\\\begin{cases}x=-y \\ y^2+m=0    (2) \end{cases}\end{array} \right.\)
Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \((1)\) hoặc \((2)\) có nghiệm:
\(\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta'_x\geq 0 \\ \Delta'_y\geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1-m\geq 0\\-m\geq 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m\leq 1\\m\leq 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m\leq 1\)

c) Hệ phương trình muốn có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là \((1)\) có nghiệm duy nhất hoặc \((2)\) có nghiệm duy nhất.
- Trường hợp 1: \((1)\) có nghiệm duy nhất \(\Rightarrow \Delta'_x=0\Rightarrow m=1\), khi đó \((2)\) vô nghiệm.
Vậy \(m=1\) thỏa mãn vì hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(x=y=1\).
-Trường hợp 2: \((2)\) có nghiệm duy nhất \(\Rightarrow \Delta'_y=0\Rightarrow m=0\), khi đó \((2)\) vô nghiệm.
Nhưng theo câu a), \((1)\) có hai nghiệm nên không thỏa mãn.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(m=1\)

Bài 103022

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103022

1 Đáp án

Liên quan

Hệ phương trình đối xứng loại I + II và các bài toán liên quan

Lý thuyết liên quan