Bài 103016

Question

Tìm \(a\) để hệ phương trình: \(\begin{cases}y^2=x^3-4x^2+ax \\ x^2=y^3-4y^2+ay \end{cases}\) có nghiệm duy nhất.

score 0 · Answer 1

Giải
Trừ từng vế hai phương trình ta có:
   \((x-y)[x^2+xy+y^2-3(x+y)+a]=0\)
Do đó hệ phương trình đã cho tương đương với:
   \(\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x-y=0 \\ x^2=y^3-4y^2+ay                            (I) \end{cases}\\\begin{cases}x^2+xy+y^2-3(x+y)+a=0 \\ y^2=x^3-4x^2+ax (II) \end{cases}\end{array} \right.\)
Xét hệ phương trình (I), dùng phép thế \(x=y\) ta có:
    \(x^2=x^3-4x^2+ax \Leftrightarrow x[x^2-5x+a]=0\).
Do đó hệ phương trình luôn có nghiệm \(x=y=0\).
Hệ phương trình (I) chỉ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình:
   \(x^2-5x+a=0\) vô nghiệm \(\Leftrightarrow \Delta_x<0 \Leftrightarrow 25-4a<0 \Leftrightarrow a>\frac{25}{4}\)
( Vì phương trình \(x^2-5x+a=0\) không có nghiệm duy nhất là 0).
Với \(a>\frac{25}{4}\) xét hệ phương trình (II), ta có phương trình:
    \(x^2+xy+y^2-3(x+y)+a=0 \Leftrightarrow x^2+x(y-3)+y^2-3y+a=0\)(*).
Coi (*) là phương trình ẩn x tham số a;y ta có:
\(\Delta_x=-3y^2+6y+9-4a\) là tam thức bậc hai ẩn \(y\) mà
\(\Delta'_y=36-12a=12(3-a)\).
Do \(a>\frac{25}{4} \Rightarrow \Delta'_y<0 \Rightarrow \Delta_x<0, \forall y\).
Chứng tỏ hệ phương trình (II) vô nghiệm. Vậy \(a>\frac{25}{4}\) thỏa mãn.
Chú ý: Khi gặp hệ phương trình loại này chứa căn thức, các bạn có thể đặt ẩn phụ để khử căn.Đôi khi nên nhận xét điều kiện cần đối với tham số để rút gọn lời giải.

Bài 103016

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103016

1 Đáp án

Liên quan

Hệ phương trình đối xứng loại I + II và các bài toán liên quan

Lý thuyết liên quan