Bài 102898

Question

Giả sử $ a,b,c,d $ là các số nguyên sao cho hệ . $ \left\{ \begin{array}{l}
ax + by = m\\
cx + dy = n
\end{array} \right. $ có nghiệm nguyên. Chứng minh rằng $ ad - bc = \pm 1 $

score 0 · Answer 1

Các số $ a,b,c,d $ không thể đồng thời bằng 0. Giả sử $ a \ne 0 $
Đặt $ ad - bc = D $ và $ \frac{c}{a} = k $
- Nếu $ D = 0 \Leftrightarrow \frac{c}{a} = \frac{d}{b} = k \Rightarrow d = kb $
Hệ đã cho trở thành : $ \left\{ \begin{array}{l}
ax+ by = m\\
kax + kby = n
\end{array} \right. $
Và chỉ có nghiệm khi $ n = km $ , trái giả thiết cho hệ có nghiệm nguyên $ \forall m,n \in Z $
- Nếu $ D \ne 0 $ ; hệ đã cho có nghiệm duy nhất. $ x = \frac{{md - nb}}{D},y = \frac{{na - mc}}{D} $
Chọn $ m = 1,n = 0 \Rightarrow {x_1} = \frac{d}{D},{y_1} = - \frac{c}{D} $
Lại chọn $ m = 0,n = 1 \Rightarrow {x_2} = - \frac{b}{D},{y_2} = \frac{a}{D} $ $ \Rightarrow {x_1}{y_2} - {x_2}{y_1} = \frac{1}{D} \in Z,D \in Z $
Do đó $ D|1 \Leftrightarrow D = \pm 1 $

Bài 102898

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102898

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan