|
|
Cách 1:
Ta có : $ (*) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{(x + y)^2} - 2xy = z\\
x + y = a - z
\end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
xy = \frac{1}{2}\left[ {{z^2} - (2a + 1)z + {a^2}} \right]\\
x + y = a - z
\end{array} \right. $
Do đó x và y là nghiệm của phương trình bậc 2 : $ {t^2} - \left( {a - z} \right)t + \frac{1}{2}\left[ {{z^2} - (2a + 1)z + {a^2}} \right] = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3) $
Để hệ (*) có nghiệm duy nhất, phương trình (3) phải có nghiệm kép : $ \begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\left( {a - z} \right)^2} - 2\left[ {{z^2} - (2a + 1)z + {a^2}} \right] = 0\\
\Leftrightarrow {z^2} - 2(a + 1)z + {a^2} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,(4)
\end{array} $
(4) cũng phải có nghiệm kép:
$ \begin{array}{l}
{\left( {a + 1} \right)^2} - {a^2} = 0 \Leftrightarrow 2a + 1 = 0
\Leftrightarrow a = - \frac{1}{2}
\end{array} $
Ta suy ra : $ \left\{ \begin{array}{l}
z = a + 1 = \frac{1}{2}\\
x = y = \frac{{a - z}}{2} = - \frac{1}{2}
\end{array} \right. $
Vậy : 1. $ a = - \frac{1}{2} $
2. $ \left( {x,y,z} \right) = \left( { - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right) $
* cách 2 :
Thay $ z = {x^2} + {y^2} $ vào (2), ta có :
$ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + x + y = 0
\Leftrightarrow {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} = a + \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5)
\end{array} $
Để hệ (*) có nghiệm duy nhất thì (5) phải có nghiệm duy nhất hay $ \left\{ \begin{array}{l}
a + \frac{1}{2} = 0\\
x + \frac{1}{2} = 0\\
y + \frac{1}{2} = 0
\end{array} \right. $
$\Leftrightarrow $
$ \left\{ \begin{array}{l}a = -\frac{1}{2}\\
x = -\frac{1}{2} \\
y = -\frac{1}{2}
\end{array} \right. $
|