Bài 102820

Question

Với những giá trị nào của $a$ và đối với mọi $b$, hãy tìm một số $c$ sao cho hệ sau có dù chỉ một nghiệm: $ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + by = ac^2 + c\\
bx + 2y = c - 1
\end{array} \right.\\
\end{array} $

score 0 · Answer 1

Ta có:
$ \begin{array}{l}
D = 2 - {b^2};Dx = 2\left( {a{c^2} + c} \right) - b\left( {c - 1} \right) = 2a{c^2} + 2c - bc + b\\
Dy = c - 1 - b\left( {a{c^2} + c} \right) = c - 1 - ab{c^2} - bc
\end{array} $
-    Nếu $ 2 - {b^2} \ne 0 \Leftrightarrow b \ne \pm \sqrt 2 \Leftrightarrow D \ne 0 $
Hệ (2) có nghiệm duy nhất $ \forall a,\forall c $ $ \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{2a{c^2} + 2c - bc + b}}{{2 - {b^2}}}\\
y = \frac{{c - 1 - ab{c^2} - bc}}{{2 - {b^2}}}
\end{array} \right. $
-    Nếu $ b = \sqrt 2 : $
Hệ trở thành: $ \left\{ \begin{array}{l}
x + y\sqrt 2 = a{c^2} + c\\
x\sqrt 2 + 2y = c - 1
\end{array} \right. $
Hệ có nghiệm khi: $ \begin{array}{l}
\left( {a{c^2} + c} \right)\sqrt 2 = c - 1
\Leftrightarrow a{c^2}\sqrt 2 + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)c + 1 = 0
\end{array} $
Ta có: c tồn tại $ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} - 4a\sqrt 2 \ge 0 $ $ \Leftrightarrow a \le \frac{{3\sqrt 2 - 4}}{8} $
-    Nếu $ b = - \sqrt 2 $
Hệ có nghiệm với điều kiện: $ a{c^2}\sqrt 2 + \left( {\sqrt 2 + 1} \right)c - 1 = 0 $
Ta có: c tồn tại $ \Leftrightarrow a \ge - \frac{{3\sqrt 2 + 4}}{8} $
Vậy khi $ - \frac{{3\sqrt 2 + 4}}{8} \le a \le \frac{{3\sqrt 2 + 4}}{8} $ thì luôn luôn tồn tại c sao cho $ \forall b, $ hệ đã cho luôn có nghiệm.

Bài 102820

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102820

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan