|
|
* Cách 1:
- Xét $ x \ge 0 $
Hệ (I) trở thành: $ \left\{ \begin{array}{l}
ax + \left( {a - 1} \right)y = 2 + 4a\\
3x + 2y = a - 5
\end{array} \right. $
Và có nghiệm: $ \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{{a^2} - 14a + 1}}{{a - 3}}\\
y = - \frac{{{a^2} - 17a - 6}}{{a - 3}}
\end{array} \right.\,\,\,\,\,a \ne 3 $
Vì $ x \ge 0 \Rightarrow a \in \left[ {7 - 4\sqrt 3 ;3) \cup \left[ {7 + 4\sqrt 3 ; + \infty )} \right.} \right. $
- Xét $ x \le 0: $
Hệ (I) trở thành: $ \left\{ \begin{array}{l}
ax + \left( {a - 1} \right)y = 2 + 4a\\
- 3x + 2y = a - 5
\end{array} \right. $
Và có nghiệm:
$ \left\{ \begin{array}{l}
x = - \frac{{{a^2} - 14a + 1}}{{5a - 3}}\\
y = \frac{{{a^2} + 7a + 6}}{{5a - 3}}
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,a \ne \frac{3}{5} $
Vì $ x \le 0 \Rightarrow a \in \left[ {7 - 4\sqrt 3 ;\frac{3}{5}) \cup \left[ {7 + 4\sqrt 3 ; + \infty )} \right.} \right. $
Để hệ có nghiệm duy nhất thì phải tìm a sao cho:
$ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{a^2} - 14a + 1}}{{a - 3}} = - \frac{{{a^2} - 14a + 1}}{{5a - 3}}\\
\frac{{{a^2} - 17a - 6}}{{a - 3}} = \frac{{{a^2} + 7a + 6}}{{5a - 3}}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow a = 7 - 4\sqrt 3 \,\,\,V\,\,\,\,\,a = 7 + 4\sqrt 3
\end{array} $
Và nghiệm tương ứng của hệ là $ \left( {0,1 - 2\sqrt 3 } \right)\,\,\,\,\,\,\,V\,\,\,\,\,\left( {0,1 + 2\sqrt 3 } \right) $ .
*Cách 2:
Cách giải trên về cơ bản thì không sai nhưng rất vụng về ( vì dài dòng). Chúng ta hãy xem cách giải sau đây:
$ |x| = \left\{ \begin{array}{l}
x\,\ \ khi \ \ \,x \ge 0\\
- x\, \ \ \ khi \ \ \,x < 0
\end{array} \right. $
Do đó để hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là :
x = 0
Hệ (I) trở thành:
$ \left\{ \begin{array}{l}
\left( {a - 1} \right)y = 2 + 4a\\
2y = a - 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{2 + 4a}}{{a - 1}}\\
y = \frac{{a - 5}}{2}
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,a \ne 1 $
$ \begin{array}{l}
\Rightarrow \frac{{2 + 4a}}{{a - 1}} = \frac{{a - 5}}{2},a \ne 1\\
\Leftrightarrow {a^2} - 14a + 1 = 0\\
\Leftrightarrow a = 7 - 4\sqrt 3 \,\,\,\,\,\,V\,\,\,\,\,a = 7 + 4\sqrt 3
\end{array} $
- Điều kiện đủ:
Với $ a = 7 - 4\sqrt 3 $
Hệ có nghiệm $ \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 1 - 2\sqrt 3
\end{array} \right. $
Với $ a = 7 + 4\sqrt 3 $
Hệ có nghiệm $ \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 1 + 2\sqrt 3
\end{array} \right. $
Vậy
$ \begin{array}{l}
a = 7 - 4\sqrt 3 :x = 0,y = 1 - 2\sqrt 3 \\
a = 7 + 4\sqrt 3 :x = 0,y = 1 + 2\sqrt 3
\end{array} $
|