Bài 102323

Question

Cho phương trình $\sqrt x + \sqrt {9 - x} = \sqrt { - {x^2} + 9x + m} $
$1$. Giải phương trình khi $m = 9$
$2$. Xác định $m$ để phương trình trên có nghiệm.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/2/2012 4:03:36 PM

$1$. Khi $m = 9$ thì:
Phương trình $ \Leftrightarrow {t^2} - 2t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 0\\
t = 2
\end{array} \right. \in \left[ {0,\,\frac{9}{2}} \right]$
Nên phương trình đã cho có nghiệm: $x = \frac{{9 \pm \sqrt {81 - 0} }}{2};\,\,x = \frac{{9 \pm \sqrt {81 - {{4.2}^2}} }}{2}$
Đáp số: $x = 0,\,x = 9,\,x = x = \frac{{9 \pm \sqrt {65} }}{2}$

$2$.
Điều kiện: $0 \le x \le 9$$\sqrt x + \sqrt {9 - x} = \sqrt { - {x^2} + 9x + m}$
$ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + \sqrt {9 - x} } \right)^2} = - {x^2} + 9x + m\\
\Leftrightarrow 9 + 2\sqrt {x\left( {9 - x} \right)} = x\left( {9 - x} \right) + m\,\, \left( 1 \right)$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x\left( {9 - x} \right)} = t\\
t \ge 0
\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 9x + {t^2} = 0\\
t \ge 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow x = \frac{{9 \pm \sqrt {81 - 4{t^2}} }}{2}$
Với điều kiện $0 \le t \le \frac{9}{2}\left( {x \in \left[ {0,9} \right]} \right)$ và $\left( 1 \right) \Leftrightarrow 9 + 2t = {t^2} + m \Leftrightarrow {t^2} - 2t = 9 - m \left( 2 \right)$
Phương trình đã cho có nghiệm $ \Leftrightarrow \left( 2 \right)$ có ít nhất một nghiệm $t \in \left[ {0,\,\frac{9}{2}} \right]$
Xét $f\left( t \right) = {t^2} - 2t$ có $f'\left( t \right) = 2t - 2$ và có bảng biến thiên như hình vẽ:

$(2)$ có nghiệm $t \in \left[ {0,\,\frac{9}{2}} \right] \Leftrightarrow - 1 \le 9 - m \le \frac{{45}}{4} \Leftrightarrow \frac{{ - 9}}{4} \le m \le 10$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi $\frac{{ - 9}}{4} \le m \le 10$

Bài 102323

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102323

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan