Bài 102265

Question

Cho tứ diện $ABCD$, trong đó $BC = a,\,AB = AC = b,\,DB = DC = c,\,\,\alpha $ là góc phẳng nhị diện cạnh $BC\left( {\alpha < \frac{\pi }{2}} \right)$. Với điều kiện nào đối với $b, c$ đường thẳng nối điểm giữa $E$ của $BC$ với điểm $F$ của $AD$ là đường vuông góc chung của $BC$ và $AD$. Với điều kiện vừa tìm được, hãy chứng minh hình cầu đường kính $CD$ đi qua $E, F$ và tính thể tích tứ diện đã cho

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/2/2012 2:48:12 PM

Tìm điều kiện của $b, c$ để đường thẳng nối điểm giữa $E$ của $BC$ và điểm $F$ của $AD$ là đường vuông góc chung của $BC$ và $AD$.
Theo giả thiết $AB = AC = b$ nên tam giác $ABC$ cân $ \Rightarrow AE \bot BC \left( 1 \right)$
Tương tự $DB = DC = c$ nên tam giác ABC cân $ \Rightarrow DE \bot BC \left( 2 \right)$
Từ $(1)$ và $(2)$ $ \Rightarrow BC \bot \left( {EAD} \right) \Rightarrow BD \bot EF$.
Mặt khác vì $F$ là trung điểm của $AD$ nên ${\rm{E}}F \bot AD$
$ \Leftrightarrow EA = ED \Leftrightarrow \Delta DBC = \Delta ABC \Leftrightarrow b = c$
Vậy $EF$ là đường vuông góc chung của $BC$ và $AD$ $ \Leftrightarrow b = c$
Thử lại thấy nếu $b=c$ thì $EF \bot AD, BC$

- Mặt cầu đường kính $CD$ đi qua $E, F$. Thật vậy theo chứng minh trên ta có: $DE \bot BC \Leftrightarrow \widehat {CED} = {90^0}$
Mặt khác $BC \bot \left( {EAD} \right) \Rightarrow BC \bot AD$.
Kết hợp với ${\rm{E}}F \bot AD$ ta được $AD \bot \left( {FBC} \right) \Rightarrow AD \bot FC \Rightarrow \widehat {CFD} = {90^0}$
Tương tự, $ \widehat {CED} = {90^0}$
Vậy mặt cầu đường kính $CD$ đi qua $E, F$

- Ta có $BC \bot \left( {EAD} \right)$ nên $\widehat {AED} = \alpha $ là góc phẳng nhị diện cạnh $BC$, ta có:
${V_{ABCD}} = {V_{BEAD}} + {V_{CEAD}} = \frac{1}{3}BC.{S_{\Delta EAD}}$
Trong tam giác vuông $DEC$ ta có:
$\begin{array}{l}
D{E^2} = D{C^2} - E{C^2} = {b^2} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{4{b^2} - {a^2}}}{4}\\
{S_{\Delta EAD}} = \frac{1}{2}EA.ED\sin \alpha = \frac{1}{8}\left( {4{b^2} - {a^2}} \right)\sin \alpha \\
{V_{ABCD}} = \frac{1}{{24}}a.\sin \alpha \left( {4{b^2} - {a^2}} \right)
\end{array}$

Bài 102265

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102265

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan