Bài 102255

Question

Tính tích phân $\int\limits_{\sqrt 2 }^3 {\sqrt {{x^2} - 1} dx} $

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/2/2012 2:35:56 PM

Đặt $
u = \sqrt {{x^2} - 1} \Rightarrow
du = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}dx$
$\begin{array}{l}
I = x\sqrt {{x^2} - 1} \left| \begin{array}{l}
3\\
\sqrt 2
\end{array} \right. - \int\limits_{\sqrt 2 }^3 {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}dx} \\
= 5\sqrt 5 - \int\limits_{\sqrt 2 }^3 {\frac{{{x^2} - 1 + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}} dx\\
= 5\sqrt 2 - I - \int\limits_{\sqrt 2 }^3 {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}dx} \\
\Rightarrow 2I = 5\sqrt 2 - \int\limits_{\sqrt 2 }^3 {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}dx} \,\,\left( 1 \right)
\end{array}$
Tính tiếp ${I_1} = \int\limits_{\sqrt 2 }^3 {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}} $

Đặt $t = x + \sqrt {{x^2} - 1} \Rightarrow dt = \left( {1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}} \right)dx\\ \Rightarrow \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} + x}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}dx = \frac{{tdt}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} \Rightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = \frac{{dt}}{t}$

$\begin{array}{l}

x = \sqrt 2 \Rightarrow t = \sqrt 2 + 1;\,x = 3\\ \Rightarrow t = 3 + 2\sqrt 2 \\
{I_1} = \int\limits_{\sqrt 2 + 1}^{3 + 2\sqrt 2 } {\frac{{dt}}{t} = \ln |t|\left| {_{\sqrt 2 + 2}^{3 + 2\sqrt 2 }} \right. = \ln \left( {\sqrt 2 + 1} \right)}
\end{array}$
Thay vào $(1)$ ta được $I = \frac{1}{2}\left[ {5\sqrt 2 - \ln \left( {\sqrt 2 + 1} \right)} \right]$

Bài 102255

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102255

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan