Bài 102219

Question

Cho tam giác $ABC$ cân đỉnh $A$,cạnh bên bằng $b$,cạnh đáy bằng $a$ và thỏa mãn hệ thức :
$\frac{a}{b} = 1 + 2\cos \frac{{2\pi }}{7}$
CMR : ${a^5} - 4{a^3}{b^2} + 3a{b^4} - {b^5} = 0$

score 0 · Answer 1

Đặt $A = 2x \Rightarrow B = C = \frac{\pi }{2} - x$
Theo định lý hàm số sin ,ta có $\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{\sin C}}{{\sin A}} = \frac{1}{{2\sin x}}$
Ta lại có phương trình : $\frac{1}{{2\sin x}} = 1 + 2\cos \frac{{2\pi }}{7}                            (1)$
Ta có :        $1 + 2\cos \frac{{2\pi }}{7} = 1 + \frac{{\sin \frac{{4\pi }}{7}}}{{\sin \frac{{2\pi }}{7}}} = \frac{{2\sin \frac{{3\pi }}{7}c{\rm{os}}\frac{\pi }{7}}}{{2\sin \frac{\pi }{7}c{\rm{os}}\frac{\pi }{7}}}$
                                                                   $ = \frac{{\sin \frac{{3\pi }}{7}}}{{2\sin \frac{\pi }{{14}}c{\rm{os}}\frac{\pi }{{14}}}} = \frac{1}{{2\sin \frac{\pi }{{14}}}}$
$x = \frac{\pi }{{14}} \Rightarrow A = \frac{\pi }{7};B = C = \frac{{3\pi }}{7}$
Ta có ;   $\frac{a}{{\sin \frac{\pi }{7}}} = \frac{b}{{\sin \frac{{3\pi }}{7}}} = \frac{b}{{3\sin \frac{\pi }{7} - 4{{\sin }^3}\frac{\pi }{7}}}$
    $\Rightarrow b = a(3 - 4{\sin ^2}\frac{\pi }{7})                                                   (2)$
Nhưng ${\sin ^2}\frac{\pi }{7} = 4{\sin ^2}\frac{\pi }{{14}}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{\pi }{{14}} = 4{(\frac{a}{{2b}})^2}(1 - \frac{{{a^2}}}{{4{b^2}}})              (3)$
Thay $(2)$ vào $(3)$ ta có $dpcm$

Bài 102219

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102219

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan